アンダーソン-リビングストン定理の証明
要旨 1
$R$ この可換環が単位元$1$を持ち、その零因子の集合を$Z(R)$とするなら、その零因子グラフ$\Gamma (R)$は連結グラフであり、$\text{diam}(\Gamma (R)) \le 3$
説明
アンダーソンとリビングストンは、零因子グラフの研究における重要な功績を残しており、特にグラフの連結性と直径の上限値を特定するこの定理を、アンダーソン・リビングストン定理と呼ぶこともある。
証明
$x,y \in Z(R) (x \ne y)$とする。
- ケース1. $xy=0$
当然、$d(x,y)=1$である。 - ケース2. $xy \ne 0$
- ケース2-1. $x^2 = y^2 = 0$
したがって、$d(x,y)=2$ - ケース2-2. $x^2 = 0, y^2 \ne 0$
$by=0$となる$b \in Z(R)$が存在する。- ケース2-2-1. $bx=0$
したがって、$d(x,y)=2$ - ケース2-2-2. $bx \ne 0$
したがって、$d(x,y)=2$
- ケース2-2-1. $bx=0$
- ケース2-3. $x^2 \ne 0, y^2 = 0$
ケース2-2と似ている。 - ケース2-4. $x^2 \ne 0, y^2 \ne 0$
$ax=0=by$となる$a, b \in Z(R)$が存在する。- ケース2-4-1. $a=b$
$ax=0=ay$なので、$d(x,y)=2$ - ケース2-4-2. $a \ne b$
- ケース2-4-2-1. $ab=0$
したがって、$d(x,y)=3$ - ケース2-4-2-2. $ab \ne 0$
したがって、$d(x,y)=2$
- ケース2-4-2-1. $ab=0$
- ケース2-4-1. $a=b$
- ケース2-1. $x^2 = y^2 = 0$
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Anderson, Livingston. (1999). The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring ↩︎