📂数理物理学

曲線座標系とデル演算子

定義

座標が$(q_{1}, q_{2}, q_{3})$の任意の曲線座標系でのデル演算子は以下の通りだ。

$$\begin{align*} \nabla &= \dfrac{1}{h_{1}}\dfrac{\partial}{\partial q_{1}} \widehat{\mathbf{q}}_{1} + \dfrac{1}{h_{2}}\dfrac{\partial}{\partial q_{2}} \widehat{\mathbf{q}}_{2} + \dfrac{1}{h_{3}}\dfrac{\partial}{\partial q_{3}} \widehat{\mathbf{q}}_{3} \\ &= \sum\limits_{1}^{3} \dfrac{1}{h_{i}}\dfrac{\partial}{\partial q_{i}} \widehat{\mathbf{q}}_{i} \end{align*}$$

この時$h_{i}$はスケールファクターである。

説明

デル演算子はベクトルではないが、便宜上上記のように表記された。

デカルト座標系

デカルト座標系では$q_{1} = x$、$q_{2} = y$、$q_{3} = z$であり、スケールファクターは$h_{1} = h_{2} = h_{3} = 1$である。

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial x} \widehat{\mathbf{x}} + \dfrac{\partial}{\partial y} \widehat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial}{\partial z} \widehat{\mathbf{z}}$$

球座標系

球座標系では$q_{1} = r$、$q_{2} = \theta$、$q_{3} = \phi$であり、スケールファクターは$h_{1} = 1$、$h_{2} = r$、$h_{3} = r\sin\theta$である。

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial r} \widehat{\mathbf{r}} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \widehat{\boldsymbol{\theta}} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \phi} \widehat{\boldsymbol{\phi}}$$

円柱座標系

円柱座標系では$q_{1} = \rho$、$q_{2} = \phi$、$q_{3} = z$であり、スケールファクターは$h_{1} = 1$、$h_{2} = \rho$、$h_{3} = 1$である。

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial \rho} \widehat{\boldsymbol{\rho}} + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \phi} \widehat{\boldsymbol{\phi}} + \dfrac{\partial}{\partial z} \widehat{\mathbf{z}}$$