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양자 조화 진동자의 사다리 연산자 📂量子力学

양자 조화 진동자의 사다리 연산자

定義

2つの演算子a+a_{+}とa−a_{-}を次のように定義しよう。すると、a±a_{\pm}は量子調和振動子におけるハミルトニアンのはしご演算子である。

a+=12ℏmω(−iP+mωX)a−=12ℏmω(+iP+mωX) \begin{align*} a_{+} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(- \i P + m\omega X) \\ a_{-} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(+ \i P + m\omega X) \end{align*}

ここで、PPは運動量演算子、XXは位置演算子、ℏ\hbarはプランク定数、mmは粒子の質量、ω\omegaは角振動数である。

説明

a±a_{\pm}は、ハミルトニアン演算子HHの固有値∣ψ⟩\ket{\psi}の状態（固有値）を±ℏω\pm \hbar \omegaだけ上げる演算子である。すなわち、次が成り立つ。HHの固有関数を∣ψ⟩\ket{\psi}、それに対応する固有値をEEとすると、

Ha±∣ψ⟩=(E±ℏω)a±∣ψ⟩ Ha_{\pm} \ket{\psi} = (E \pm \hbar \omega)a_{\pm} \ket{\psi}

または

[H,a±]∣ψ⟩=±ℏωa±∣ψ⟩ [H, a_{\pm}] \ket{\psi} = \pm \hbar \omega a_{\pm} \ket{\psi}

調和振動子を代数的に解くときに有用である。

性質

H=ℏω(a±a∓±12)(1) H = \hbar\omega\left( a_{\pm}a_{\mp} \pm \dfrac{1}{2} \right) \tag{1}

2つのはしご演算子の交換子は以下の通りである。

[a−,a+]=1[a+,a−]=−1 \begin{equation} \begin{aligned} [a_{-}, a_{+}] &= 1 \\ [a_{+}, a_{-}] &= -1 \end{aligned}\tag{2} \end{equation}

ハミルトニアンとの交換子は以下の通りである。つまり、HHのはしご演算子である。

[H,a+]=+ℏωa+[H,a−]=−ℏωa− \begin{equation} \begin{aligned} [H, a_{+}] = + \hbar \omega a_{+} \\ [H, a_{-}] = - \hbar \omega a_{-} \end{aligned}\tag{3} \end{equation}

証明

(1)(1)

量子調和振動子のハミルトニアンは次の通りである。

H=ℏ22md2dx2+12m2ω2X2=12mP2+12m2ω2X2 H = \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} + \dfrac{1}{2} m^{2}\omega^{2}X^{2} = \dfrac{1}{2m}P^{2} + \dfrac{1}{2} m^{2}\omega^{2}X^{2}

結果は単純な計算で示すことができる。

ℏωa+a−=ℏω2ℏmω(−iP+mωX)ℏω2ℏmω(+iP+mωX)=ℏω2ℏmω(−iP+mωX)(iP+mωX)=12m[(−ii)P2+imωXP−imωPX+m2ω2X2]=12m[P2+imω(XP−PX)+m2ω2X2]=12m[P2+imω[X,P]+m2ω2X2]=12m[P2+imωiℏ+m2ω2X2]=12m[P2+m2ω2X2]−ℏω2=H−ℏω2 \begin{align*} \hbar \omega a_{+}a_{-} &= \dfrac{\hbar \omega}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(- \i P + m\omega X)\dfrac{\hbar \omega}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(+ \i P + m\omega X) \\ &= \dfrac{\hbar \omega}{2\hbar m \omega}(- \i P + m\omega X)(\i P + m\omega X) \\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ (-\i\i)P^{2} + \i m\omega XP - \i m\omega PX + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega(XP - PX) + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega[X, P] + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + \i m\omega \i \hbar + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big]\\ &= \dfrac{1}{2m}\Big[ P^{2} + m^{2}\omega^{2}X^{2} \Big] - \dfrac{\hbar\omega}{2}\\ &= H - \dfrac{\hbar\omega}{2}\\ \end{align*}

■

(2)(2)

(1)(1)によって次を得る。

[a−,a+]=a−a+−a+a−=by (1)(1ℏωH+12)−(1ℏωH−12)=1 \begin{align*} [a_{-}, a_{+}] &= a_{-}a_{+} - a_{+}a_{-} \\ &\overset{\text{by } (1)}{=} \left( \frac{1}{\hbar\omega} H + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{\hbar\omega} H - \frac{1}{2} \right) \\ &= 1 \end{align*}

交換子の性質[A,B]=−[B,A][A, B] = - [B, A]によって次を得る。

[a+,a−]=−[a−,a+]=−1 [a_{+}, a_{-}] = - [a_{-}, a_{+}] = -1

■

(3)(3)

交換子の性質:

[A+B,C]=[A,C]+[B,C][AB,C]=A[B,C]+[A,C]B[A,A]=0 \begin{align*} [A + B, C] &= [A,C] + [B,C] \tag{3-1} \\ [AB,C] &= A[B,C] + [A,C]B \tag{3-2} \\ [A, A] &= 0 \tag{3-3} \\ \end{align*}

はしご演算子の定義により、[H,a±]=±ℏωa±[H, a_{\pm}] = \pm\hbar\omega a_{\pm}であることを示せばよい。

[H,a+]=[ℏω(a+a−+12),a+]by (1)=[ℏωa+a−,a+]+[12ℏω,a+]by (3-1)=ℏω[a+a−,a+]=ℏω(a+[a−,a+]+[a+,a+]a−)by (3-2)=ℏωa+by (2) and (3-3) \begin{align*} [H,a_{+}] &= \textstyle [\hbar\omega (a_{+}a_{-}+\frac{1}{2}) ,a_{+}] &\text{by (1)} \\ &= \textstyle [\hbar\omega a_{+}a_{-},a_{+}]+[\frac{1}{2}\hbar\omega, a_{+}] &\text{by (3-1)} \\ &= \textstyle \hbar \omega[a_{+}a_{-},a_{+}] \\ &= \hbar \omega(a_{+}[a_{-},a_{+}] + [a_{+},a_{+}]a_{-}) &\text{by (3-2)} \\ &= \hbar \omega a_{+} &\text{by (2) and (3-3)} \\ \end{align*}

そして

[H,a−]=[ℏω(a−a+−12),a−]by (1)=[ℏωa−a+,a−]−[12ℏω,a−]by (3-1)=ℏω[a−a+,a−]=ℏω(a−[a+,a−]+[a−,a−]a+)by (3-2)=−ℏωa−by (2) and (3-3) \begin{align*} [H,a_{-}] &= \textstyle [\hbar\omega (a_{-}a_{+}-\frac{1}{2}) ,a_{-}] &\text{by (1)} \\ &= \textstyle [\hbar\omega a_{-}a_{+},a_{-}]-[\frac{1}{2}\hbar\omega, a_{-}] &\text{by (3-1)} \\ &= \textstyle \hbar \omega[a_{-}a_{+},a_{-}] \\ &= \hbar \omega(a_{-}[a_{+},a_{-}] + [a_{-},a_{-}]a_{+}) &\text{by (3-2)} \\ &= - \hbar \omega a_{-} &\text{by (2) and (3-3)} \\ \end{align*}

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