📂微分積分学

幾何級数

定義¹

$a \ne 0$に対して次のような級数を幾何級数という。

$$a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}$$

説明

初項が$a$で、公比が$r$の等比数列の無限和である。$n$番目の項は$n-1$番目の項と$n+2$番目の項の幾何平均である。

$$\sqrt{(ar^{n-1})(ar^{n+1})} = ar^{n}$$

部分和

部分和$s_{n}$は次の通りである。

$$s_{n} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$

収束性

幾何級数$\sum ar^{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots$は$|r| \lt 1$のとき収束し、その値は

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} ar^{n} = \dfrac{a}{1 - r} \qquad (|r| \lt 1)$$

$|r| \ge 1$のときは発散する。

証明

$|r| \lt 1$の場合

等比数列の極限が$0$なので、

$$\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} & = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a}{1 - r} - \dfrac{ar^{n}}{1 - r} \right) \\ & = \dfrac{a}{1 - r} - \dfrac{a}{1 - r}\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} \\ & = \dfrac{a}{1 - r} \end{align*}$$

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$|r| \ge 1$の場合

この場合、$\{ ar^{n} \}$は$0$に収束せず、発散判定法によって発散する。

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