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ラドン変換

定義

ある2次元ドメイン$D\subset \mathbb{R}^{2}$で定義された関数$f :D \to \mathbb{R}$が与えられたとする。$f$のラドン変換$\mathcal{R}f$を、$s \in \mathbb{R}$、$\boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta) \in S^{1}$に対して、以下のように定義する。

$$\begin{align*} \mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}):=&\ \int \limits_{t=-\infty}^{\infty} f ( s \boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^{\perp} )dt \\ =&\ \int \limits_{t=-\infty} ^{\infty} f \left( s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta + t\cos\theta \right)dt \end{align*}$$

説明

ラドン変換は積分変換の一種で、オーストリアの数学者ヨハン・ラドン^{Johann Radon, 1887-1956}にちなんで名づけられた。

放射性元素のラドンは、数学者のラドンにちなんで名づけられたわけではなく、‘radioactive’という単語に不活性ガスの接尾辞’-on’を組み合わせて名づけられた。

$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta})$の幾何学的な意味は、原点から$s$離れていて、$\boldsymbol{\theta}$と垂直な全ての点で$f$を積分することである。

$f$はデカルト座標$(x, y)$に対する関数である一方、ラドン変換$\mathcal{R}f$は極座標$(s, \theta)$に対する関数である。

ラドン変換はCTの核心原理の一つであり、ベール-ランベールの法則という物理法則に基づいている。これは、X線の強度が通過する媒質の種類によって異なるように減少するという内容を含んでいる。X線の強度が減少したということは、つまり媒質がX線を吸収したということと同じである。媒質が光を吸収する度合いを減衰係数^{attenuated coefficient}、吸収係数^{absorption coefficient}、あるいは吸光度^absorbanceと呼ぶ。媒質によって減衰係数が異なることを利用して、X線を使った非破壊検査をCTで実施する。X線撮影で骨が白く見えるのは、骨が他の物質よりもX線を多く吸収するからである。

定義の別の表現

$l_{s, \theta}$を極座標$(s,\theta)$によって決まる直線とするとき、

$$\mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int _{l_{s, \theta}} f$$

幾何学的な意味を考えると、

$$\mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int \limits_{ \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f (\mathbf{x}) d \mathbf{x}$$

$\boldsymbol{\theta}^{\perp} := \left\{ \mathbf{u} : \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0 \right\}$として定義すると、

$$\mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int \limits_{ \boldsymbol{\theta}^{\perp}} f (s \boldsymbol{\theta} + \mathbf{u}) d \mathbf{u}$$

ディラックのデルタ関数$\delta$に対して、

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{2}} f( \mathbf{x} ) \delta ( \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} - s) d \mathbf{x}$$

一般化

$s \in \mathbb{R}^{1}$、$\boldsymbol{\theta} \in S^{n-1}$に対して、ラドン変換$\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$を以下のように定義する。

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}$$

ここで、$Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$は$n+1$次元のユニットシリンダーである。

導出¹

$x$を位置、$I(x)$をX線の強度、$A(x)$を媒質の減衰係数とする。

ビール-ランベール法則

X線の強度の変化率は、以下の通りである。

$$\begin{equation} \frac{ dI }{ dx } = -A(x)I(x) \end{equation}$$

$x_{0}$、$x_{1}$をそれぞれX線が開始した位置、終了した位置とし、$I_{0}$、$I_{1}$を各点でのX線の強度とする。$(1)$で変数分離を行い、両辺を積分すると、以下のようになる。

$$\begin{align*} && \int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{1}{I(x)}dI &= - \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( I_{1} \right) - \ln \left( I_{0} \right)&= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{1}}{I_{0}}\right) &= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{0}}{I_{1}}\right) &= \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \end{align*}$$

この式を見ると、$I_{0}$はX線を撮影した時の強度であり、われわれが知っている値である。$I_{1}$は物体を通過した後の強度で、$x_{0}$に位置する検出器がこの値を測定する。従って、左辺はわれわれが知っている値である。

右辺の積分範囲は、われわれが撮影したX線の進行路であるため、知っている。よって、X線の進行路$L$とその両端での強度$I_{0}$、$I_{1}$が与えられると、$A(x)$を路$L$に沿って積分した値が得られる。これを$A(x)$に対するラドン変換と呼ぶ。

$$\mathcal{R}f (L) := \int_{L} f(x) dx = \ln \left( \frac{I_{0}}{I_{1}}\right)$$

性質

ラドン変換の基本的な性質は、以下の通りである。

• 線形性

  $$\mathcal{R} \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \mathcal{R}f + \beta \mathcal{R}g$$

• 平行移動不変性^{shift invariance}

  $$\mathcal{R}T_{\mathbf{a}}f (s, \boldsymbol{\theta}) = T_{\mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\theta}}\mathcal{R}f(s,\boldsymbol{\theta})$$

• 回転不変性^{rotation invariance}

  $$RAf = ARf$$

• 拡大縮小不変性^{dilation invariance}

  $$RD_{r}f = \dfrac{1}D_{r}Rf$$