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発散判定法 📂微分積分学

発散判定法

定理

もし級数∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}が収束すれば、数列{an}\{a_{n}\}は00に収束する。 ∑n=1∞an is convergent   ⟹  lim⁡n→∞an=0 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent } \implies \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0

証明

級数の和を∑n=1∞an=s\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = sとしよう。つまり部分和sns_{n}に対してlim⁡n→∞sn=s\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = sである。するとan=sn−sn−1a_{n} = s_{n} - s_{n-1}なので、

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(sn−sn−1)=lim⁡n→∞sn−lim⁡n→∞sn−1=s−s=0 \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} - \lim\limits_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0

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説明

逆は成り立たない。 つまり、数列{an}\{a_{n}\}が00に収束するからといって、級数∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}が収束するわけではない。有名な例として調和級数がある。調和数列{1n}\left\{ \dfrac{1}{n} \right\}は00に収束するが、調和級数は収束しない。

lim⁡n→∞1n=0 but ∑n=1∞1n=∞ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty

対偶を取ると発散判定法divergence testとなる。

発散判定法

数列{an}\{a_{n}\}が00に収束しなければ、級数∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}は発散する。