📂レンマ

等比数列の部分和も等比数列であることの証明

概要

等比数列 $a_n = a r^{n-1}$ とその部分和 $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$、そしてある自然数 $m$ について $A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)}$ は等比数列だ。

説明

知らないと本当に困る。

例えば、2の累乗を3つずつ足し合わせた数列を考えると、$(1 + 2+ 4)= 7$、$(8 + 16 + 32)=56$、$(64+128+256)=448 \cdots$ は初項が7で公比が8の等比数列だ。

この性質は等差数列にもある。原理は実際単純だから、一度しっかり読んで、次からは事実だけを覚えておこう。

証明

$$A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)} = ar^{mn-1} + ar^{mn-2} + \cdots + ar^{mn-m}$$ 各項を $a r^{mn-m}$ に関してまとめて方程式を整理すると、 $$A_n = a r^{mn-m} ( r^{m-1} + r^{m-2} + \cdots + 1) = a { {r^{m} - 1} \over {r-1} } \left( r^m \right) ^{n-1}$$ したがって、$A_n$ は初項が $\displaystyle a { {r^{m} - 1} \over {r-1} }$ で公比が $r^{m}$ の等比数列だ。この初項と公比を正確に知る必要はない。

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