📂レンマ

等差数列の部分和も等差数列であることの証明

定理

等差数列$a_n = a + (n-1)d$とその部分和$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$、そしてある自然数$m$に対して$A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)}$は等差数列である。

説明

知らないと本当に苦労する。

例えば、自然数を三つずつ切って加えた数列を考えると$(1 + 2+ 3)= 6$、$(4+5+6)=15$、$(7+8+9)=24 \cdots$は初項が6で公差が9の等差数列である。

この性質は等比数列も持っている。原理は実際にはシンプルだから、一度しっかり読んで、次からは事実だけを覚えておこう。

証明

$$A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)} = \left\{ a + (mn-1)d \right\} + \left\{ a + (mn-2)d \right\} + \cdots + \left\{ a + (mn-m)d \right\}$$ それぞれ$a$と$d$についてまとめて式を整理すると $$\begin{align*} A_n =& ma + \left\{ m^{2} n - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + \left\{ m^{2} n - m^2 + m^2 - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + ( m^{2} n - m^2 ) d + \left\{ m^2 - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + ( m^{2} n - m^2 ) d + { {m(m-1)} \over 2} d \\ =& {m \over 2} \left\{ 2a + (m-1)d \right\} + (n-1) m^{2} d \end{align*}$$ したがって、$A_n$は初項が$\displaystyle {m \over 2} \left\{ 2a + (m-1)d \right\}$で公差が$m^{2} d$の等差数列である。具体的に初項と公差が何であるかを知っておく必要はない。

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