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解析関数 📂複素解析

解析関数

定義

開集合ACA \subset \mathbb{C}f:ACf: A \to \mathbb{C}が定義されていて、αA\alpha \in Aとしよう。

  1. limzαf(z)=f(α)\displaystyle \lim_{z \to \alpha } f(z) = f (\alpha)ならば、ffα\alpha連続だといい、複素領域 R\mathscr{R}の全ての点で連続ならば、ffR\mathscr{R}上で連続だという。特にffが定義域上で連続ならば、連続関数と呼ばれる1

  2. α\alphaでのff微分係数を以下のように定義し、α\alphaで微分係数が存在すれば、ffα\alpha微分可能であるという。 f(α):=limh0f(α+h)f(α)h f ' (\alpha) := \lim_{h \to 0} {{ f ( \alpha + h ) - f ( \alpha ) } \over { h }} ここでhCh \in \mathbb{C}とし、複素平面上のどの方向でも関係なくなければならない。

  3. ff複素領域 R\mathscr{R}の全ての点で微分可能ならば、ffR\mathscr{R}解析的であるという。特にf:CCf:\mathbb{C} \to \mathbb{C}C\mathbb{C}解析的ならば、全解析entire関数という2

説明

  1. 実数集合R\mathbb{R}を定義域とする関数とは異なり、一般的にC\mathbb{C}を定義域とする関数も同じ幾何学的意味を持つわけではないが、形式的な定義上、複素解析における微分が微分と呼ばれる理由が全くないわけではない。もちろん、複素平面としてCR2\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^{2}を考えるならば、やはり傾きと似た意味で見ることができる。
  2. 解析的関数は、正則関数regular functionホロモーフィック関数holomorphic functionとも呼ばれる。しかし、解析的連続の条件として使われる点で、解析的関数という表現が最もメジャーだ。“なぜこれを微分可能な関数ではなく、わざわざ解析的関数という言葉を作って呼ぶのか?“については、複素解析が発展した当時の視点が入っていると見ることができるだろう。言及したように、複素平面での微分というのは、形式的な定義であって、我々が実数空間R\mathbb{R}で扱ったように考えるべきではない、という意味だったのではないかと思われる。

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p39. ↩︎

  2. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p50. ↩︎