📂行列代数

대각합

定義

$n\times n$ 行列 $A$が次のように与えられたとする。

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

$A$の対角成分の和を$A$のトレース^traceと定義し、次のように表記する。

$$\text{tr}(A)=\text{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots + a_{nn}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii}$$

説明

次のようにトレースを関数と考えることもできる。$M_{n\times n}(\mathbb{R})$を実数を成分に持つ$n\times n$行列の集合とする。このとき、$\text{Tr}$は次のように定義される関数である。

$$\text{Tr} : M_{n\times n} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad \text{Tr}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii}$$

トレースが関数であれば微分することもできる。

性質

$A = [a_{ij}]$, $B=[b_{ij}]$, $C$が$n \times n$行列、$k$が定数とする。

(a) 定数倍のトレースとトレースの定数倍は等しい。

$$\text{Tr}(kA)= k\text{Tr}(A)$$

(b) 和のトレースとトレースの和は等しい。

$$\text{Tr}(A+B)=\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$$

(a)+(b) トレースは線形である。

$$\text{Tr}(kA+B)=k\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$$

(c) $AB$と$BA$のトレースは等しい。

$$\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$$

• (c') 循環性質^{Cyclic Property}: 上の事実から次の式が成立することがわかる。

$$\text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(BCA) = \text{Tr}(CAB)$$

• (c") 実際、任意の$A \in \mathbb{R}^{n \times k}$と$B \in \mathbb{R}^{k \times n}$に対しても成り立つ。

(d) $A$と転置行列 $A^{\mathsf{T}}$のトレースは等しい。

$$\text{Tr}(A) = \text{Tr}(A^{T})$$

(e) 次が成立する。

$$\sum\limits_{i,k} a_{ik}b_{ki} = \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}})$$

$$\sum\limits_{i,k} a_{ik}b_{ik} = \text{Tr}(AB^{\mathsf{T}}) = \text{Tr}(A^{\mathsf{T}} B)$$

証明

(e)

二つの行列$A$, $B$の積の$(i,j)$成分は次のように表せる。

$$[AB]_{ij} = \sum\limits_{k} a_{ik}b_{kj}$$

トレースとは、$i=j$である成分を全て足したものだから、

$$\Tr(AB) = \sum\limits_{i,k} a_{ik}b_{ki}$$

■