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内積空間における0の性質 📂ヒルベルト空間

内積空間における0の性質

定理

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)を内積空間と呼ぼう。

(a) すべてのx∈X\mathbf{x}\in Xに対して、以下が成立する。

⟨0,x⟩=0 \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle = 0

(b) すべてのx∈X\mathbf{x}\in Xに対して、次の式を満たすXXの要素は0\mathbf{0}だけである。

∀x∈X, ⟨x,y⟩=0  ⟹  y=0 \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0}

(c) y,z∈X\mathbf{y}, \mathbf{\mathbf{z}} \in Xとし、そして

⟨x,y⟩=⟨x,z⟩,∀x∈X \begin{equation} \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle =\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \right\rangle, \quad \forall \mathbf{x}\in X \end{equation}

と仮定する。そうすると、以下が成立する。

y=z \mathbf{y}=\mathbf{z}

説明

太字の0\mathbf{0}は、ベクトル空間 XXの加算における単位元としてのゼロベクトルを意味する。00は定数00を意味する。

証明

(a)

内積の定義により、

⟨0,x⟩= ⟨x−x,x⟩= ⟨x,x⟩−⟨x,x⟩= 0 \begin{align*} \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x}-\mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ 0 \end{align*}

■

(b)

0\mathbf{0}ではない要素y∈X\mathbf{y} \in Xに対して**(a)**が成立すると仮定する。そうすると、y\mathbf{y}はXXのすべての要素との内積が00でなければならず、自分自身との内積も00である。

⟨y,y⟩=0 \left\langle \mathbf{y},\mathbf{y} \right\rangle = 0

しかし、これは内積の定義に反するので、**(a)**を満たす要素は0\mathbf{0}だけである。

■

(c)

(3)(3)を仮定する。そうすると

⟨x,y−z⟩=0∀x∈X \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}-\mathbf{z} \right\rangle = 0 \quad \forall \mathbf{x}\in X

そして**(b)**によって

y−z= 0  ⟹  y= z \begin{align*} && \mathbf{y}-\mathbf{z} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{y} =&\ \mathbf{z} \end{align*}

■