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内積は連続写像であることを証明 📂ヒルベルト空間

内積は連続写像であることを証明

定理1

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)が内積空間で、{xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}、{yn}\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}がそれぞれx\mathbf{x}、 y\mathbf{y}に収束するXXの数列だとしよう。すると、次が成立する。

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ as n→∞ \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \to \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \text{ as } n \to \infty

極限が内積の内外を移動できるため、次の系を得る。

系

HHをヒルベルト空間、{xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \N}をHHの数列、{ck}k∈N∈ℓ2(N)\left\{ c_{k} \right\}_{k\in\mathbb{N}} \in \ell^{2} (\mathbb{N})であり、∑k=1∞ckxk\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}が収束するとする。すると、次の式が成立する。

⟨x,∑k=1∞ckxk⟩= ∑k=1∞ck‾⟨x,xk⟩⟨∑k=1∞ckxk,x⟩= ∑k=1∞ck⟨xk,x⟩ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x},\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\overline{c_{k}}\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle \end{align*}

説明

lim⁡n→∞⟨xn,yn⟩=⟨lim⁡n→∞xn,lim⁡n→∞yn⟩=⟨x,y⟩ \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{x}_{n}, \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle

この式が成立することから、内積は連続写像であると連続の同値条件によって示される。非常に便利な性質であることは言うまでもない。

証明

内積の定義とコーシー・シュワルツの不等式を用いて簡単に示せる。

∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣= ∣⟨xn,yn⟩−⟨x,yn⟩+⟨,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤∣⟨xn,yn⟩−⟨x,yn⟩∣+∣⟨x,yn⟩−⟨x,y⟩∣= ∣⟨xn−x,yn⟩∣+∣⟨x,yn−y⟩∣ \begin{align*} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle + \left\langle ,\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ \le& \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n}-\mathbf{y}\right\rangle \right| \end{align*}

右辺にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると、次のようになる。

∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤∥xn−x∥∥yn∥+∥x∥∥yn−y∥ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n} \right\| + \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n}-\mathbf{y} \right\|

この時、ノルムは連続写像であるため、lim⁡n→∞∥xn−x∥=0\lim \limits_{n\to \infty} \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| =0であり、yn\mathbf{y}_{n}についても同様である。したがって、式の両辺に極限を取ると

lim⁡n→∞∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤0  ⟹  lim⁡n→∞⟨xn,yn⟩= ⟨x,y⟩ \begin{align*} && \lim \limits_{n\to \infty} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le& 0 \\ \implies && \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \end{align*}

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  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p173 ↩︎