📂線形代数

ベクトル空間における凸集合

定義

ベクター空間 $V$の部分集合$M$に対して、次の式が成り立つ場合、$M$を凸集合^{convex set}と言う。

$$\lambda x +(1-\lambda)y \in M,\quad \forall \lambda\in[0,1],\ \forall x,y \in M$$

説明

この式を言葉で解くなら、「$M$が凸集合だとは、$M$に含まれる任意の二つのベクターの間にある全てのベクターもまた$M$に属している」という意味だ。また、$M$が部分空間であれば、足し算とスカラーの掛け算に対して閉じているので、凸集合である。