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内積空間における直交性、直交集合、正規直交集合 📂ヒルベルト空間

内積空間における直交性、直交集合、正規直交集合

定義1

$\left( X, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \right)$を内積空間としよう。二つの元 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X$が$\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle =0$を満たすなら、$\mathbf{y}$と$\mathbf{x}$は互いに直交すると言い、以下のように表記する。

$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$

元の集合$X$、$\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{\ell} \right\rangle =0\quad \forall k\ne \ell $$

直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。

$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| =1\quad \forall k\in \mathbb{N} $$

説明

内積空間で、ノルム$\left\| \cdot \right\|:=\sqrt{\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle }$として定義されるので、正規直交システムの定義を再記すれば以下のようになる。

$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| = \left\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{x}_{\ell} \right\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if}\ k=\ell \\ 0 & \text{if}\ k\ne \ell \end{cases} $$

また、直交システムが可算集合に対して定義される必要は特にない。

定義2

$A$を任意のインデックス集合、$\alpha$、$\beta$を$A$のインデックスとしよう。元の集合$X$、$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha}, \mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =0\quad \forall \alpha \ne \beta $$

直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。

$$ \left\| \mathbf{x}_{\alpha} \right\| =1\quad \forall \alpha \in A $$

説明

従って、正規直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$に対して、以下の式を得る。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =\begin{cases} 1 & \text{if}\ \alpha=\beta \\ 0 & \text{if}\ \alpha \ne \beta \end{cases} $$


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p66-67 ↩︎

  2. Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd Edition, 1987), p82-83 ↩︎