logo

内積空間における直交性、直交集合、正規直交集合 📂ヒルベルト空間

内積空間における直交性、直交集合、正規直交集合

定義1

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \right)を内積空間としよう。二つの元 x,y∈X\mathbf{x}, \mathbf{y}\in Xが⟨x,y⟩=0\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle =0を満たすなら、y\mathbf{y}とx\mathbf{x}は互いに直交すると言い、以下のように表記する。

x⊥y \mathbf{x} \perp \mathbf{y}

元の集合XX、{xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。

⟨xk,xℓ⟩=0∀k≠ℓ \left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{\ell} \right\rangle =0\quad \forall k\ne \ell

直交システム{xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。

∥xk∥=1∀k∈N \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| =1\quad \forall k\in \mathbb{N}

説明

内積空間で、ノルムは∥⋅∥:=⟨⋅,⋅⟩\left\| \cdot \right\|:=\sqrt{\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle }として定義されるので、正規直交システムの定義を再記すれば以下のようになる。

∥xk∥=⟨xk,xℓ⟩={1if k=ℓ0if k≠ℓ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| = \left\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{x}_{\ell} \right\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if}\ k=\ell \\ 0 & \text{if}\ k\ne \ell \end{cases}

また、直交システムが可算集合に対して定義される必要は特にない。

定義2

AAを任意のインデックス集合、α\alpha、β\betaをAAのインデックスとしよう。元の集合XX、{xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。

⟨xα,xβ⟩=0∀α≠β \left\langle \mathbf{x}_{\alpha}, \mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =0\quad \forall \alpha \ne \beta

直交システム{xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。

∥xα∥=1∀α∈A \left\| \mathbf{x}_{\alpha} \right\| =1\quad \forall \alpha \in A

説明

従って、正規直交システム{xα}α∈A\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}に対して、以下の式を得る。

⟨xα,xβ⟩={1if α=β0if α≠β \left\langle \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =\begin{cases} 1 & \text{if}\ \alpha=\beta \\ 0 & \text{if}\ \alpha \ne \beta \end{cases}

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p66-67 ↩︎

  2. Walter Rudin, Real and Complex Analysis (3rd Edition, 1987), p82-83 ↩︎