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多変数関数の積分 📂多変数ベクトル解析

多変数関数の積分

定義1

IkI^{k}をk-cell、x∈Ik\mathbf{x} \in I^{k}としよう。

x=(x1,…,xk),ai≤xi≤bi(i=1,…,k) \mathbf{x} = (x_{1},\dots,x_{k}),\quad a_{i} \le x_{i} \le b_{i} (i=1,\dots,k)

f:Ik→Rf: I^{k} \to \mathbb{R}が連続であるとしよう。それならば、積分可能なのでf=fkf=f_{k}とし、fk−1:Ik−1→Rf_{k-1} : I^{k-1} \to \mathbb{R}を次のように定義しよう。

fk−1(x1,…,xk−1)=∫akbkfk(x1,…,xk)dxk f_{k-1} (x_{1}, \dots, x_{k-1}) = \int_{a_{k}}^{b_{k}} f_{k}(x_{1}, \dots, x_{k}) dx_{k}

すると、ライプニッツの定理により、fk−1f_{k-1}はIk−1I^{k-1}で連続である。このプロセスをkk回繰り返すと、定数f0∈Rf_{0}\in \mathbb{R}を得る。これを**IkI^{k}上でのffの**積分と呼び、次のように表記する。

∫Ikf(x)dxor∫Ikf \begin{equation} \int_{I^{k}} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \quad \text{or} \quad \int_{I^{k}}f \label{eq1} \end{equation}

説明

このような積分の定義は、積分の順序に依存しているように見えるかもしれない。しかし実際には、ffの積分値は積分順序に影響されない。

定理

(eq1)\eqref{eq1}をL(f)L(f)としよう。積分順序が異なる別のffの積分をL′(f)L^{\prime}(f)としよう。するとIkI^{k}で連続なすべてのffに対して、次が成立する。

L(f)=L′(f) L(f) = L^{\prime}(f)

証明

関数hhを次のように置こう。

h(x)=h1(x1)h2(x2)⋯hk(xk),hj∈\href h(\mathbf{x}) = h_{1}(x_{1}) h_{2}(x_{2}) \cdots h_{k}(x_{k}),\quad h_{j}\in \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/support-and-classes-of-continuous-functions/}{C([a_{j},b_{j}])}

すると、次が成立する。

L(h)=∏i=1k∫aibihi(xi)dxi=L′(h) L(h) = \prod \limits_{i=1}^{k} \int_{a_{i}}^{b_{i}}h_{i}(x_{i})dx_{i} = L^{\prime}(h)

今、A\mathscr{A}をこのようなhhたちのすべての有限和の集合としよう。

A={all of finite sums of such functions h} \mathscr{A} = \left\{ \text{all of finite sums of such functions h} \right\}

すると、積分は線形なので、次が成立する。

L(g)=L′(g),∀g∈A L(g) = L^{\prime}(g),\quad \forall g\in \mathscr{A}

また、A\mathscr{A}はIkI^{k}上での代数となる。

代数

関数の集合A\mathscr{A}がすべてのf,g∈Af,g \in \mathscr{A}と定数ccに対して次を満たす場合、代数と呼ぶ。

  • f+g∈Af + g \in \mathscr{A}
  • fg∈Afg \in \mathscr{A}
  • cf∈Acf \in \mathscr{A}

これで、ストーン・ワイエルシュトラスの定理を適用すると、次の結果を得る。

  • V=∏i=1k(bi−ai)V= \prod \limits_{i=1}^{k}(b_{i} - a_{i})としよう。f∈C(Ik)f \in C(I^{k})であり、ε>0\varepsilon >0が与えられたとしよう。すると、次を満たすg∈Ag\in \mathscr{A}が存在する。 ∥f−g∥<εV \| f - g \| < \dfrac{\varepsilon}{V} このとき、ノルムは∥f∥=max⁡∣f∣\| f \| = \max | f |として与えられる。

すると、次の不等式が成立する。

∣L(f−g)∣≤L(max⁡∣f−g∣)=∥f−g∥V<ε∣L′(f−g)∣≤L′(max⁡∣f−g∣)=∥f−g∥V<ε \begin{align*} |L(f-g)| &\le L(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \\ |L^{\prime}(f-g)| &\le L^{\prime}(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \end{align*}

また、次の式が成立する。

L(f)−L′(f)=L(f)−L(g)+L′(g)−L(f)=L(f−g)+L′(g−f) L(f) - L^{\prime}(f) = L(f) - L(g) + L^{\prime}(g) - L(f) = L(f-g) + L^{\prime}(g-f)

従って、次の式を得る。

∣L(f)−L′(f)∣=∣L(f−g)+L′(g−f)∣<2ε | L(f) - L^{\prime}(f) | = | L(f-g) + L^{\prime}(g-f) | < 2\varepsilon

これはすべてのε\varepsilonに対して成立するので、次を得る。

L(f)=L′(f) L(f) = L^{\prime}(f)

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  1. ウォルター・ルーディン, 数学解析の原理 (第3版, 1976年), p245-246 ↩︎