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エルミート行列空間と半正定値行列の凸錐 📂行列代数

エルミート行列空間と半正定値行列の凸錐

定義

nNn \in \mathbb{N} としましょう。

エルミート行列空間

サイズがn×nn \times nエルミート行列集合を次のように表します。 Hn:={ACn×n:A=A} \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\}

正定値行列の集合

サイズがn×nn \times n正定値行列の集合をPn\mathbb{P}_{n}のように表します。

定理

Hn\mathbb{H}_{n}はベクトル空間である

  • [1]: スカラー体R\mathbb{R}に対して、 Hn\mathbb{H}_{n}ベクトル空間です。

Pn\mathbb{P}_{n}Hn\mathbb{H}_{n}の凸錐である

  • [2]: すべてのa,b>0a, b > 0X,YPnX, Y \in \mathbb{P}_{n}に対して、次が成り立ちます。 aX+bYPn aX + bY \in \mathbb{P}_{n} つまり、PnHn\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}Hn\mathbb{H}_{n}凸錐です。

証明

[1]

Hn\mathbb{H}_{n}のスカラー体が実数集合R1\mathbb{R}^{1}で与えられている限り、任意のX,YHnX, Y \in \mathbb{H}_{n}に対するスカラー倍は行列の転置複素数の共役にも関係なく、ベクトル空間のさまざまな条件を自明に満たします。

[2] 1

まず、正定値行列はエルミート行列であるためPnHn\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}が成立します。任意のX,YX , Yが正定値行列である場合、すべてのベクトルvCn\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}に対してvXv>0\mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} > 0であり、vYv>0\mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} > 0なので、すべてのスカラーa,b>0a, b > 0に対して次が成り立ちます。 v(aX+bY)v=vaXv+vbYv=avXv+bvYv>0 \begin{align*} & \mathbf{v}^{\ast} \left( aX + bY \right) \mathbf{v} \\ =& \mathbf{v}^{\ast} aX \mathbf{v} + \mathbf{v}^{\ast} bY \mathbf{v} \\ =& a \mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} + b \mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} \\ >& 0 \end{align*}