エルミート行列空間と半正定値行列の凸錐
📂行列代数エルミート行列空間と半正定値行列の凸錐
定義
n∈N としましょう。
エルミート行列空間
サイズがn×nのエルミート行列の集合を次のように表します。
Hn:={A∈Cn×n:A=A∗}
正定値行列の集合
サイズがn×nの正定値行列の集合をPnのように表します。
定理
Hnはベクトル空間である
- [1]: スカラー体Rに対して、 Hnはベクトル空間です。
PnはHnの凸錐である
- [2]: すべてのa,b>0とX,Y∈Pnに対して、次が成り立ちます。
aX+bY∈Pn
つまり、Pn⊂HnはHnの凸錐です。
証明
[1]
Hnのスカラー体が実数集合R1で与えられている限り、任意のX,Y∈Hnに対するスカラー倍は行列の転置や複素数の共役にも関係なく、ベクトル空間のさまざまな条件を自明に満たします。
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[2]
まず、正定値行列はエルミート行列であるため、Pn⊂Hnが成立します。任意のX,Yが正定値行列である場合、すべてのベクトルv∈Cnに対してv∗Xv>0であり、v∗Yv>0なので、すべてのスカラーa,b>0に対して次が成り立ちます。
==>v∗(aX+bY)vv∗aXv+v∗bYvav∗Xv+bv∗Yv0
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