超関数の微分は弱収束に対して連続である
📂シュワルツ超函数超関数の微分は弱収束に対して連続である
定理
超函数の微分は、弱収束に対して連続である。つまり、TkがTに弱収束するとき、∂αTkも∂αTに弱収束する。
Tk→Tweakly⟹∂αTk→∂αTweakly
このとき、αは任意のマルチインデックスである。
説明
超函数の微分が弱収束に対して連続であるということは、弱収束に関する連続性の条件を満たしているという意味だ。
n→∞limf(pn)=f(p),∀{pn}s.t.n→∞limpn=p
超函数にとってこの事実が意味を持つのは、点収束や一様収束に対しては成立しないからである。
fk→fpointwise or uniformly⟹fk′→f′pointwise or uniformly
つまり、fに収束するある函数列fkに対して、fk′がf′に収束するとは限らない。しかし、弱収束の場合には、これを保証できるということがポイントだ。
証明
超函数列TkがTに弱収束すると仮定しよう。超函数微分の定義により、任意のテスト関数ϕに対して、次が成立する。
(∂αTk)(ϕ)=(−1)∣α∣Tk(∂αϕ)
両辺に極限k→∞limをとると、仮定により次のようになる。
k→∞lim(∂αTk)(ϕ)=k→∞lim(−1)∣α∣Tk(∂αϕ)=(−1)∣α∣T(∂αϕ)=(∂αT)(ϕ)
したがって、次が成立する。
∂αTk→∂αTweakly
ゆえに、TkがTに弱収束すると、∂αTkが∂αTに弱収束する。
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