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超関数の微分は弱収束に対して連続である 📂シュワルツ超函数

超関数の微分は弱収束に対して連続である

定理1

超函数微分は、弱収束に対して連続である。つまり、TkT_{k}TTに弱収束するとき、αTk\partial ^{\alpha} T_{k}αT\partial ^{\alpha}Tに弱収束する。

TkTweakly    αTkαTweakly T_{k} \to T \quad \text{weakly} \implies \partial ^{\alpha} T_{k}\to \partial ^{\alpha}T \quad \text{weakly}

このとき、α\alphaは任意のマルチインデックスである。

説明

超函数の微分が弱収束に対して連続であるということは、弱収束に関する連続性の条件を満たしているという意味だ。

limnf(pn)=f(p),{pn}s.t.limnpn=p \lim \limits_{n\to \infty} f(p_{n})=f(p),\quad \forall \left\{ p_{n} \right\} \text{s.t.} \lim_{n \to \infty}p_{n}=p

超函数にとってこの事実が意味を持つのは、点収束一様収束に対しては成立しないからである。

fkfpointwise or uniformly̸ ⁣ ⁣ ⁣    fkfpointwise or uniformly f_{k} \to f \quad \text{pointwise or uniformly} \not \!\!\! \implies f^{\prime}_{k}\to f^{\prime} \quad \text{pointwise or uniformly}

つまり、ffに収束するある函数列fkf_{k}に対して、fkf^{\prime}_{k}ff^{\prime}に収束するとは限らない。しかし、弱収束の場合には、これを保証できるということがポイントだ。

証明

超函数列TkT_{k}TTに弱収束すると仮定しよう。超函数微分の定義により、任意のテスト関数ϕ\phiに対して、次が成立する。

(αTk)(ϕ)=(1)αTk(αϕ) \left( \partial ^{\alpha} T_{k} \right)(\phi) = \left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T_{k}(\partial ^{\alpha} \phi)

両辺に極限limk\lim \limits_{k \to \infty}をとると、仮定により次のようになる。

limk(αTk)(ϕ)=limk(1)αTk(αϕ)=(1)αT(αϕ)=(αT)(ϕ) \begin{align*} \lim \limits_{k \to \infty}\left( \partial ^{\alpha} T_{k} \right)(\phi) &= \lim \limits_{k \to \infty}\left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T_{k}(\partial ^{\alpha} \phi) \\ &= \left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T(\partial ^{\alpha} \phi) \\ &= \left( \partial ^{\alpha}T \right)(\phi) \end{align*}

したがって、次が成立する。

αTkαTweakly \partial ^{\alpha} T_{k}\to \partial ^{\alpha}T \quad \text{weakly}

ゆえに、TkT_{k}TTに弱収束すると、αTk\partial ^{\alpha} T_{k}αT\partial ^{\alpha}Tに弱収束する。


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p315 ↩︎