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ディラックのデルタ超関数に収束する超関数 📂シュワルツ超函数

ディラックのデルタ超関数に収束する超関数

定理1

ffRnf(x)dx=1\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1を満たす関数だとしよう。そしてfϵ(x)=1ϵnf(xϵ)f_{\epsilon}(\mathbf{x})=\dfrac{ 1 }{ \epsilon^{n} }f\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right)とする。その場合、ffに対応する正則な反関数 Tϵ=TfϵT_{\epsilon}=T_{f_{\epsilon}}ディラックのデルタ反関数弱収束する。つまり、以下が成り立つ。

limϵ0Tϵ=δ \lim \limits_{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}=\delta

証明

f~(x)=f(x)\tilde{f}(\mathbf{x})=f(-\mathbf{x})とする。すると、以下が成り立つ。

fϵ~(x)=1ϵf(xϵ)andRnfϵ~dx=1 \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{x})=\frac{1}{\epsilon}f\left( -\frac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right) \quad \text{and} \quad \int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{f_{\epsilon}}d\mathbf{x}=1

また、テスト関数 ϕ\phiコンパクトサポートを持つ連続関数であるため、有界である。したがって、畳み込み収束定理により、以下が成り立つ。

limϵ0ϕfϵ~(x)=ϕ(x)xRn \lim \limits_{\epsilon \to 0} \phi * \tilde{f_{\epsilon}} (\mathbf{x})=\phi (\mathbf{x})\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

従って、任意のテスト関数ϕ\phiに対して以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} \lim \limits _{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}(\phi) &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int f_{\epsilon}(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{0}-\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &= \lim \limits_{\epsilon \to 0} \tilde{f_{\epsilon}}\phi (\mathbf{0}) \\ &=\phi (\mathbf{0}) \\ &=\delta (\phi) \end{align} $$

よって、以下のようになる。

Tϵwδ T_{\epsilon} \overset{\text{w}}{\to} \delta


  1. ジェラルド・B・フォランド, フーリエ解析及びその応用 (1992), p314 ↩︎