ディラックのデルタ超関数に収束する超関数
📂シュワルツ超函数ディラックのデルタ超関数に収束する超関数
定理
fが∫Rnf(x)dx=1を満たす関数だとしよう。そしてfϵ(x)=ϵn1f(ϵx)とする。その場合、fに対応する正則な反関数 Tϵ=Tfϵはディラックのデルタ反関数に弱収束する。つまり、以下が成り立つ。
ϵ→0limTϵ=δ
証明
f~(x)=f(−x)とする。すると、以下が成り立つ。
fϵ~(x)=ϵ1f(−ϵx)and∫Rnfϵ~dx=1
また、テスト関数 ϕはコンパクトサポートを持つ連続関数であるため、有界である。したがって、畳み込み収束定理により、以下が成り立つ。
ϵ→0limϕ∗fϵ~(x)=ϕ(x)∀x∈Rn
従って、任意のテスト関数ϕに対して以下が成り立つ。
$$
\begin{align*}
\lim \limits _{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}(\phi) &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int f_{\epsilon}(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x}
\\ &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{0}-\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x}
\\ &= \lim \limits_{\epsilon \to 0} \tilde{f_{\epsilon}}\phi (\mathbf{0})
\\ &=\phi (\mathbf{0})
\\ &=\delta (\phi)
\end{align}
$$
よって、以下のようになる。
Tϵ→wδ
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