連分数
定義
以下のような形の分数を連分数continued fractionという。
$$ a_{0} + \dfrac{1}{a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{a_{3} + \dfrac{1}{\ddots + \dfrac{1}{a_{n}}}}}} \tag{1} $$
説明1 2
$(1)$を$[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$と表記する。
自然に、その極限をとることも考えられる。例えば、漸化式が$a_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{1 + a_{n}}$、$a_{1} = 1$である数列を考えてみる。すると次が成り立つ。 $$ a_{n} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{\ddots 2 + \dfrac{1}{1 + a_{1}}}}} $$
$a_{n}$の極限は$\sqrt{2}$であるので、$\sqrt{2}$は$[1, 2, 2, 2, \dots]$で表すことができる。
$$ \sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \ddots}}} \tag{2} $$
$(2)$の右辺と同じ形を$\sqrt{2}$の連分数展開continued fraction expansionという。
James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p737-738 ↩︎