📂レンマ

連分数

定義

以下のような形の分数を連分数^{continued fraction}という。

$$a_{0} + \dfrac{1}{a_{1} + \dfrac{1}{a_{2} + \dfrac{1}{a_{3} + \dfrac{1}{\ddots + \dfrac{1}{a_{n}}}}}} \tag{1}$$

説明^{1 2}

$(1)$を$[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$と表記する。

自然に、その極限をとることも考えられる。例えば、漸化式が$a_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{1 + a_{n}}$、$a_{1} = 1$である数列を考えてみる。すると次が成り立つ。 $$a_{n} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{\ddots 2 + \dfrac{1}{1 + a_{1}}}}}$$

$a_{n}$の極限は$\sqrt{2}$であるので、$\sqrt{2}$は$[1, 2, 2, 2, \dots]$で表すことができる。

$$\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \ddots}}} \tag{2}$$

$(2)$の右辺と同じ形を$\sqrt{2}$の連分数展開^{continued fraction expansion}という。