📂解析学

曲線の長さを測定する方法

定義¹

• 区間$\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{k}$における曲線^curve、または単に$\mathbb{R}^{k}$上の曲線は、連続関数と呼ばれる。

• もし曲線$[a,b]$が1対1の関数ならば、弧^arcと呼ばれる。

• もし$\gamma$ならば、$[a,b]$を閉曲線^{closed curve}と呼ぶ。

説明

注目すべき点は、点の集合ではなく写像として曲線を定義したことだ。

さて、区間$\gamma (a)=\gamma (b)$の分割$\gamma$と曲線$[a,b]$に対して$[a,b]$を以下のように定義しよう。

$$ \Lambda (P,\gamma) = \sum \limits _{i=1} ^{n} \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| $$

右辺の$P=\left\{ x_{0},\dots,x_{n} \right\}$番目の項は、二点$\gamma$間の距離を意味する。つまり$\Lambda$は、点$i$を結んだ折れ線の長さと等しい。分割を細分化すればするほど、$\Lambda$は$[a,b]$の実際の長さにより近づくだろう。このセンスで、曲線$[a,b]$の長さ^length$\gamma (x_{i-1}), \gamma (x_{i})$を次のように定義する。

$$ \Lambda (\gamma)=\sup \limits_{\forall P}\Lambda (P,\gamma) $$

もし$\Lambda (P,\gamma)$ならば、$[a,b]$を長さを測ることができる^rectifiable曲線と呼ぶ。