漸化式(ぜんかしき)
定義
数列$\left\{ a_{n} \right\}$が与えられているとしよう。この時、$a_{n}$を$a_{n-1}$、$a_{n-2}$、$\cdots$、$a_{1}$の関数で表した式を点化式recurrence relationと言う。
説明
例えば自然数の数列$\left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}$は次のような点化式で表すことができる。
$$ a_{n} = a_{n-1} + 1, \qquad a_{1} = 1 $$
ルジャンドル多項式の係数は次のような点化式で表される。 したがって、$a_{0}$と$a_{1}$だけ知っていれば、すべての係数を求めることができる。
$$ a_{n+2} = -\dfrac{(\ell + n + 1)(\ell - n)}{(n+1)(n+2)} a_{n} $$