📂ルベーグ空間

正則スツルム＝リウヴィル問題の解の直交性

定理¹

異なる$\lambda_{n}, \lambda_{m}$が正則S-L問題の固有値であり、$u_{n}, u_{m}$がそれぞれの固有値に対応する実数値を持つ固有関数であるとする。すると、$u_{n}, u_{m}$は$L_{w}^{2}(a,b)$空間で互いに直交する。つまり、

$$ \int _{a} ^{b} u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0 $$

説明

正則ストゥルム・リウヴィル問題

微分方程式$(1)$が区間$[a,b]$で定義され、以下の二つの条件を満たすとき、正則ストゥルム・リウヴィル問題という。

$(\text{i})$ 全ての$x \in [a,b]$に対して、$p(x)>0$、$w(x)>0$

$(\text{ii})$ $(c_{1},c_{2})\ne (0,0)$であり、$(d_{1},d_{2})\ne (0,0)$の定数に対して、以下の境界条件が成立する。

$$ \begin{cases} c_{1}u(a) + c_{2}u^{\prime}(a) =0 \\ d_{1}u(b) + d_{2}u^{\prime}(b) =0 \end{cases} $$

証明

$u_{n}, u_{m}$がS-L問題の解であるため、以下の式が成立する。

$$ \begin{align} \left[ p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda_{n} w(x) \right]u_{n}(x) =&\ 0 \\ \left[ p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda_{m} w(x) \right]u_{m}(x) =&\ 0 \end{align} $$

$(1)\times u_{m}-(2)\times u_{n}$を計算すると、以下のようになる。

$$ \begin{align*} && & \left[ p(x)u^{\prime}_{n}(x) \right]^{\prime}u_{m}(x)+\left[ q(x)+\lambda_{n} w(x) \right]u_{n}(x)u_{m}(x) \\ && &- \left[ p(x)u^{\prime}_{m}(x) \right]^{\prime}u_{n}(x)-\left[ q(x)+\lambda_{m} w(x) \right]u_{m}(x)u_{n}(x) = 0 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \implies (\lambda_{n}-\lambda_{m})w(x)u_{n}(x)u_{m}(x)=&\ \left[ p(x)u^{\prime}_{m}(x) \right]^{\prime}u_{n}(x)-\left[ p(x)u^{\prime}_{n}(x) \right]^{\prime}u_{m}(x) \\ =&\ \left[ \left( p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right)u_{n}(x)-\left( p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right)u_{m}(x) \right] ^{\prime} \end{align*} $$

これで、上記の式の両辺を$a$から$b$まで積分すると、以下のようになる。

$$ \begin{equation} \begin{align*} \left( \lambda_{n}-\lambda_{m} \right)\int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx =&\ \left[ \left( p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right)u_{n}(x)-\left( p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right)u_{m}(x) \right] _{a}^{b} \\ =&\ p(b)\left[ u_{m}^{\prime}(b) u_{n}(b)- u_{n}^{\prime}(b) u_{m}(b) \right] \\ & -p(a)\left[ u_{m}^{\prime}(a)u_{n}(a)-u_{n}^{\prime}(a) u_{m}(a) \right] \end{align*} \end{equation} $$

この時、正則S-L問題の境界条件により、$(d_{1},d_{2})\ne (0,0)$に対して、以下の式を得ることができる。

$$ \begin{align} d_{1}u_{n}(b)+d_{2}u_{n}^{\prime}(b) =&\ 0 \\ d_{1}u_{m}(b)+d_{2}u_{m}^{\prime}(b) =&\ 0 \end{align} $$

一般性を失わずに、$d_{1} \ne 0$と仮定しよう。今、$(4)\times u_{m}^{\prime}(b)-(5)\times u_{n}^{\prime}(b)$を計算すると、以下のようになる。

$$ \begin{align*} &&\left( d_{1}u_{n}(b)+d_{2}u_{n}^{\prime}(b) \right)u_{m}^{\prime}(b)-\left( d_{1}u_{m}(b)+d_{2}u_{m}^{\prime}(b) \right)u_{n}^{\prime}(b) =&\ 0 \\ \implies && d_{1}\left( u_{n}(b)u_{m}^{\prime}(b)-u_{m}(b)u_{n}^{\prime}(b) \right) =&\ 0 \end{align*} $$

しかし、$d_{1} \ne 0$と仮定したため、$\left( u_{n}(b)u_{m}^{\prime}(b)-u_{m}(b)u_{n}^{\prime}(b) \right)=0$である。したがって、$(3)$の最後の行の最初の項は$0$になることがわかり、同じ方法で$(3)$の最後の行の二番目の項も$0$になる。したがって、以下の式を得る。

$$ \left( \lambda_{n}-\lambda_{m} \right)\int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0 $$

$\lambda_{n} \ne \lambda_{m}$であるため、

$$ \int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0 $$

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系

有限閉区間$[a,b]$上でストゥルム・リウヴィル微分方程式を考えよう。

$$ \left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0 $$

全ての$x\in(a,b)$に対して$p(x)>0$であり、$w(x)>0$とする。すると、

$(\text{i})$ $p(a)=p(b)=0$の時、式$(0)$が成立する。

$(\text{ii})$ $p(a)=p(b)$であり、$u(a)=u(b)$、$u^{\prime}(a)=u^{\prime}(b)$ならば式$(0)$が成立する。

証明

$(\text{i})$または$(\text{ii})$の場合、$(3)$の最後の行が全て$0$になるため、$(0)$が成立する。

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