重み付きLp空間
📂ルベーグ空間重み付きLp空間
定義
以下のように定義される関数空間を重み付きLp空間あるいは具体的に**w-重み付きLp空間**という。
Lwp(a,b):={f:R→C ∫ab∣f(x)∣pw(x)dx<∞}
この時、w:R→[0,∞)を重み関数という。
説明
Lp空間を一般化した空間の一つである。w(x)=1の場合にLwp=Lpが成立する。重み付きLp空間のノルムは、1≤p<∞に対して以下のように定義される。
∥f∥p,w=∥f∥Lwp(a,b)=(∫ab∣f(x)∣pw(x)dx)p1
Lwp空間の定義により、上記の値が有限であることは自明だ。特にp=2の場合には、下記のように内積を定義することができる。
⟨f,g⟩Lw2(a,b)=∫abf(x)g(x)w(x)dx,f,g∈Lw2(R)
L2空間と同様に、ヒルベルト空間になる。