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重み付きLp空間 📂ルベーグ空間

重み付きLp空間

定義1

以下のように定義される関数空間を重み付きLpL^{p}空間あるいは具体的に**ww-重み付きLpL^{p}空間**という。

Lwp(a,b):={f:RC  abf(x)pw(x)dx<} L_{w}^{p}(a,b):= \left\{ f : \mathbb{R}\to \mathbb{C}\ \big|\ \int_{a}^{b} \left| f(x) \right|^{p}w(x)dx <\infty \right\}

この時、w:R[0,)w:\mathbb{R}\to[0,\infty)重み関数という。

説明

LpL^{p}空間を一般化した空間の一つである。w(x)=1w(x)=1の場合にLwp=LpL_{w}^{p}=L^{p}が成立する。重み付きLpL^{p}空間のノルムは、1p<1\le p <\inftyに対して以下のように定義される。

fp,w=fLwp(a,b)=(abf(x)pw(x)dx)1p \left\| f\right\|_{p,w}=\left\| f\right\|_{L_{w}^{p}(a,b)}=\left( \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|^{p}w(x)dx \right)^{\frac{1}{p}}

LwpL_{w}^{p}空間の定義により、上記の値が有限であることは自明だ。特にp=2p=2の場合には、下記のように内積を定義することができる。

f,gLw2(a,b)=abf(x)g(x)w(x)dx,f,gLw2(R) \langle f,g \rangle_{L_{w}^{2}(a,b)}=\int_{a}^{b}f(x)\overline{g(x)}w(x)dx,\quad f,g \in L_{w}^{2}(\mathbb{R})

L2L^{2}空間と同様に、ヒルベルト空間になる。


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p81 ↩︎