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三角関数の特別な角 📂関数

三角関数の特別な角

公式

いくつかの特定の角度に対する三角関数の関数値は次の通りだ。

ラジアン（角度）00π12(15∘)\frac{\pi}{12} (15^{\circ})π6(30∘)\frac{\pi}{6} (30^{\circ})π4(45∘)\frac{\pi}{4} (45^{\circ})π3(60∘)\frac{\pi}{3} (60^{\circ})π2(90∘)\frac{\pi}{2} (90^{\circ})
sin⁡\sin006−24\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}12\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11
cos⁡\cos116+24 \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
tan⁡\tan002−32 - \sqrt{3}33\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}定義されてない

証明

底辺と高さが 11 の直角二等辺三角形を考えてみて。 ピタゴラスの定理 によると、斜辺の長さは 2\sqrt{2} だ。

だから、

cos⁡45∘=12=22 \cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

sin⁡45∘=1−cos⁡245∘=12=22 \sin 45^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 45^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

一辺の長さが 11 の正三角形を考えてみて。頂角を半分に割ると、一つの角が 60∘60^{\circ} の直角三角形ができるよ。

この時、斜辺の長さが 11 で、底辺の長さが 12\dfrac{1}{2} だから、

cos⁡60∘=121=12 \cos 60^{\circ} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2}

sin⁡60∘=1−cos⁡260∘=34=32 \sin 60^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 60^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

三角関数の加法定理

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\

三角関数の加法定理を使うと、

cos⁡15∘=cos⁡(60∘−45∘)=cos⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=12⋅22+32⋅22=24+64=2+64 \begin{align*} \cos 15^{\circ} = \cos (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \end{align*}

sin⁡15∘=sin⁡(60∘−45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘−cos⁡60∘sin⁡45∘=32⋅22−12⋅22=64−24 \begin{align*} \sin 15^{\circ} = \sin (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{align*}

三角関数の加法定理により、次が成立するよ。

cos⁡(90∘−x)=cos⁡90∘cos⁡x+sin⁡90∘sin⁡x=0⋅cos⁡x+1⋅sin⁡x=sin⁡xsin⁡(90∘−x)=sin⁡90∘cos⁡x−cos⁡90∘sin⁡x=1⋅cos⁡x−0⋅sin⁡x=cos⁡x \cos (90^{\circ} - x) = \cos 90^{\circ} \cos x + \sin 90^{\circ} \sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x \\ \sin (90^{\circ} - x) = \sin 90^{\circ} \cos x - \cos 90^{\circ} \sin x = 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x = \cos x

だから、

cos⁡30∘=sin⁡60∘=32 \cos 30^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

sin⁡30∘=cos⁡60∘=12 \sin 30^{\circ} = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}

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