三角関数の特別角
公式
いくつかの特定の角度に対する三角関数の関数値は次の通りだ。
| ラジアン（角度） | $0$ | $\frac{\pi}{12} (15^{\circ})$ | $\frac{\pi}{6} (30^{\circ})$ | $\frac{\pi}{4} (45^{\circ})$ | $\frac{\pi}{3} (60^{\circ})$ | $\frac{\pi}{2} (90^{\circ})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $ \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $2 - \sqrt{3}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | 定義されてない |
証明
底辺と高さが $1$ の直角二等辺三角形を考えてみて。 ピタゴラスの定理 によると、斜辺の長さは $\sqrt{2}$ だ。
だから、
$$ \cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin 45^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 45^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
一辺の長さが $1$ の正三角形を考えてみて。頂角を半分に割ると、一つの角が $60^{\circ}$ の直角三角形ができるよ。
この時、斜辺の長さが $1$ で、底辺の長さが $\dfrac{1}{2}$ だから、
$$ \cos 60^{\circ} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2} $$
$$ \sin 60^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 60^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ $$
三角関数の加法定理を使うと、
$$ \begin{align*} \cos 15^{\circ} = \cos (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \sin 15^{\circ} = \sin (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{align*} $$
三角関数の加法定理により、次が成立するよ。
$$ \cos (90^{\circ} - x) = \cos 90^{\circ} \cos x + \sin 90^{\circ} \sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x \\ \sin (90^{\circ} - x) = \sin 90^{\circ} \cos x - \cos 90^{\circ} \sin x = 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x = \cos x $$
だから、
$$ \cos 30^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin 30^{\circ} = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} $$
■