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積分変換 📂線形代数

積分変換

定義

関数空間から関数空間へのマップJJが下のような積分で定義される場合、JJを積分変換integral transformという。

(Jf)(x)=∫abK(x,t)f(t)dt (Jf) (x) = \int_{a}^{b} K(x,t)f(t)dt

J:f(⋅)↦∫abK(⋅,t)f(t)dt J : f(\cdot) \mapsto \int_{a}^{b} K(\cdot,t)f(t)dt

この時、KKをJJのカーネルkernelという。JfJfからffへのマップが存在する場合、これをJ−1J^{-1}と表示し、JJの逆変換inverse transformという。

説明

積分は線型だから、積分変換は線型変換だ。

積分領域が必ずしも有界である必要はない。a=−∞a=-\inftyであろうとb=∞b=\inftyであろうと、またはその両方であろうと関係ない。積分変換は上の定義に従ってどう作っても構わないが、適切な意味を持つためには、与えられた問題をffで解くよりJfJfで解くほうが簡単であるか、または逆変換が存在し、JfJfとffを自由に変えられる必要がある。積分変換の例としては次のようなものがある。

  • フーリエ変換 F\mathcal{F}:

    Ff(ξ)=∫−∞∞f(x)eiξxdx,K(x,ξ)=eiξx \mathcal{F}f(\xi)=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{i \xi x}dx,\quad K(x,\xi)=e^{i\xi x}

  • ラプラス変換 L\mathcal{L}:

    Lf(s)=∫0∞f(t)e−stdt,K(t,s)=e−st \mathcal{L}f(s)=\int _{0} ^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\quad K(t,s)=e^{-st}

  • メリン変換 M\mathcal{M}:

    Mf(s)=∫0∞f(x)xs−1dx,K(x,s)=xs−1 \mathcal{M}f(s)=\int_{0}^{\infty} f(x)x^{s-1}dx,\quad K(x,s)=x^{s-1}

  • ラドン変換 R\mathcal{R}:

    Rf(s,θ)=∫−∞∞f(scos⁡θ−tsin⁡θ,ssin⁡θ+tcos⁡θ)dt \mathcal{R}f(s,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta+t\cos\theta)dt

参照