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内積空間 📂ヒルベルト空間

内積空間

定義1

XXをベクトル空間とする。x,y,z∈X\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X 及び α,β∈C\alpha, \beta \in \mathbb{C}(または R\mathbb{R})に対して、次の条件を満たす関数

⟨⋅,⋅⟩:X×X→C \langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{C}

を内積と定義し、(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)を内積空間と呼ぶ。

  • 線形性: ⟨αx+βy,z⟩=α⟨x,z⟩+β⟨y,z⟩\langle \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} ,\mathbf{z} \rangle =\alpha \langle \mathbf{x},\mathbf{z}\rangle + \beta \langle \mathbf{y},\mathbf{z}\rangle
  • 共役対称性: ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \overline{ \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}
  • 正定値性: ⟨x,x⟩≥0and⟨x,x⟩=0  ⟺  x=0\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = 0\iff \mathbf{x}=0

説明

線形性と共役対称性から、次の式が得られる。

⟨x,αy+βz⟩= ⟨αy+βz,x⟩‾= α⟨y,x⟩+β⟨z,x⟩‾= α‾⟨y,x⟩‾+β‾⟨z,x⟩‾= α‾⟨x,y⟩+β‾⟨x,z⟩ \begin{align*} \langle \mathbf{x},\alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} \rangle =&\ \overline{\langle \alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} ,\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle +\beta \langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\overline{\langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}+\overline{\beta} \overline{\langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle + \overline{\beta} \langle \mathbf{x},\mathbf{z} \rangle \end{align*}

これは二番目の要素に対してアンチリニアであることを意味する。物理学、工学等では、内積が少しだけ異なって定義されることもある。たとえば、第一成分に対してアンチリニアで、第二成分に対してはリニアに定義されることもある。一方で内積空間では、以下のようにコーシー・シュワルツの不等式が成り立つ。

(X,⟨⋅,⋅⟩)(X, \langle \cdot ,\cdot \rangle)が内積空間であるとする。すると、以下の不等式が成り立ち、これをコーシー・シュワルツの不等式と呼ぶ。

∣⟨x,y⟩∣≤⟨x,x⟩1/2⟨y,y⟩1/2,∀x,y∈X \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle^{1/2} \langle \mathbf{y},\mathbf{y} \rangle ^{1/2},\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y} \in X

また、内積から以下のようにノルムを定義できる。

∥x∥:=⟨x,x⟩,x∈X \left\| \mathbf{x} \right\| := \sqrt{\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle},\quad \mathbf{x}\in X

このように内積から自然に導出されたノルムをassociated normとも呼ぶ。また、ノルムが与えられた場合には、ノルムから距離を定義できるので、距離空間の性質である完備性についても語ることができる。完備な内積空間をヒルベルト空間と呼ぶ。

特性

コーシー・シュワルツの不等式: 任意の x,y∈X\mathbf{x},\mathbf{y}\in Xに対して、

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\|

平行四辺形の法則: 任意の x,y∈X\mathbf{x},\mathbf{y}\in Xに対して、

∥x+y∥2+∥x−y∥2=2(∥x∥2+∥y∥2) \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} = 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\| ^{2}+ \left\| \mathbf{y} \right\| ^{2} \right)

複素内積空間における偏極アイデンティティ: 複素内積空間 XX及び任意の x,y∈X\mathbf{x},\mathbf{y}\in Xに対して、

⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i(∥x+iy∥2−∥x−iy∥2)) \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \frac{1}{4} \Big( \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} + i \left( \left\| \mathbf{x} + iy \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - iy \right\|^{2} \right) \Big)

実内積空間における偏極アイデンティティ: 実内積空間 XX及び任意の x,y∈X\mathbf{x},\mathbf{y}\in Xに対して、

⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2) \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \frac{1}{4} \left( \left\| \mathbf{x}+\mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y} \right\| ^{2} \right)

ノルム対内積: 任意の x∈X\mathbf{x} \in Xに対して、

∥x∥=sup⁡{∣⟨x,y⟩∣:y∈X,∥y∥=1} \left\| \mathbf{x} \right\| =\sup \left\{ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| : \mathbf{y}\in X, \left\| \mathbf{y} \right\| =1 \right\}

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p61-65 ↩︎