📂測度論

正則測度

定義：測度の正則性 ¹

$\mu$ が 測定可能空間 $(X, \Sigma)$ 上で定義された測度だとする。

1. 測定可能な集合 $A \in \Sigma$ が下記を満たす場合、内部正則^{inner Regular}という。 $$\mu (A) = \sup \left\{ \mu (F) : F \subset A, F \in \Sigma \text{ is compact} \right\}$$
2. 測定可能な集合 $A \in \Sigma$ が下記を満たす場合、外部正則^{outer Regular}という。 $$\mu (A) = \inf \left\{ \mu (G) : G \supset A, G \in \Sigma \text{ is open} \right\}$$
3. すべての測定可能な集合 $A \in \Sigma$ が $\mu$ に対して内部正則である場合、$\mu$ を内部正則測度と呼ぶ。
4. すべての測定可能な集合 $A \in \Sigma$ が $\mu$ に対して外部正則である場合、$\mu$ を外部正則測度と呼ぶ。
5. $\mu$ が内部正則であり、かつ外部正則である場合、正則測度と呼ぶ。

説明

定義にコンパクトが含まれていることから推測できるように、正則測度はボレル測度という条件を満たす、「どちらかと言えば良い」測度として言及される。測度論の深淵に踏み込まなければ、正則性という概念自体が、理論の展開において現れるあらゆる変態的な反例を防ぐ意味で大きい。