📂動力学

ラサール不変原理の証明

原理

ビルドアップ

空間 $X$ と関数 $f : X \to X$ に関して、以下のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$\dot{x} = f(x)$$ フロー $\phi_t \left( \cdot \right)$ 下のコンパクトな不変集合を $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^{n}$ と呼ぶ。

$\mathcal{M}$ で定義されたリャプノフ関数 $V : \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ があるとき、以下の2つの集合を考える。 $$E := \left\{ x \in \mathcal{M} : V ' (x) = 0 \right\}$$ これに対して次のように定義された集合 $M$ を正不変部^{positively Invariant Part}と呼ぶ。 $$M:=\left\{ \text{The union of all trajectories that start in E and remain in E for all } t >0 \right\}$$

ラサール不変原理^{lasalle Invariance Principle}

全ての $x \in \mathcal{M}$ に対して $t \to \infty$ のとき $\phi_{t} (x) \to M$ である。

証明 ¹

戦略：主にリャプノフ関数の定義とオメガリミットセットの特性を使用する。

リャプノフ関数の定義: 空間 $X$ と関数 $f : X \to X$ に関して、以下のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$\dot{x} = f(x)$$ このような自律システムのある点 $x_{0} \in X$ が与えられたとき、$x_{0}$ の近傍 $\mathcal{N} \left( x_{0} \right)$ で定義されたスカラー関数 $V \in C^{1} \left( \mathcal{N} (x_{0}) , \mathbb{R} \right)$ が以下の条件を満たすとき、リャプノフ関数^{Liapunov function}と呼ばれる。

• (i): $V(x_{0}) = 0$ であり、$x \ne x_{0}$ のとき $V(x) > 0$
• (ii): $x \in \mathcal{N} \left( x_{0} \right) \setminus \left\{ x_{0} \right\}$ で $V ' (x) \le 0$

オメガリミットセットの特性: 全体空間がユークリッド空間 $X = \mathbb{R}^{n}$ であり、フロー $\phi_{t} ( \cdot )$ 下のコンパクトな不変集合 $\mathcal{M}$ のある点 $p \in \mathcal{M}$ が与えられたとする:

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$ は閉集合である。
• [3]: $\omega (p)$ はフローに不変である。つまり、$\omega (p)$ は軌道の合併である。
• [4]: $\omega (p)$ は連結空間である。

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まず、オメガリミットセット $\omega (x)$ で$V$ が定数関数 $V = \chi$ になることを示そう。 $$\overline{x} \in \omega (x) \\ \chi = V \left( \overline{x} \right)$$ とすると、$V$ はフロー $\phi_{t}$ に従って増加しない。言い換えると、$t_{i} \le t \le t_{i+1}$ に対して $$V \left( \phi_{t_{i}} (x) \right) \ge V \left( \phi_{t} (x) \right) \ge V \left( \phi_{t_{i+1}} (x) \right)$$ であり、リャプノフ関数 $V$ の連続性により、$\chi$ は $\left\{ V \left( \phi_{t} (x) \right) : t \ge 0 \right\}$ の最小値、すなわちインフィマムになる。オメガリミットセット $\omega (x)$ はフローに不変であるため、$\phi_{t} ( \overline{x} )$ も $\phi_{t}(x)$ のオメガリミット点になる。$\chi$ は上記のように $\left\{ V \left( \phi_{t} (x) \right) : t \ge 0 \right\}$ のインフィマムであったので、 $$V \left( \phi_{t} \left( \overline{x} \right) \right) = \chi$$ $\chi$ は定数であり、$\omega (x)$ で$V’ = 0$ であり、$E$ の定義により$\omega (x) \subset E$ だ。一方で、$\omega (x)$ は不変集合であり、$M$ の定義により$\omega (x) \subset M$ でもある。したがって、$t \to \infty$ のとき$\phi_{t} (x) \to M$ である。

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