関数列の一様収束と積分可能性
定理1
区間$[a, b]$で積分可能な関数の列$\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}$が、区間$[a, b]$で$f$に一様収束するとする。 $$ f_{n} \rightrightarrows f $$ その場合、$f$も区間$[a, b]$で積分可能で、次が成立する。 $$ \int_{a}^{b} f dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx \tag{1} $$
説明2
定理の結果を一言で言うと「極限と積分の順番を入れ替えることができる」ということだ。つまり、極限記号と積分記号の順序を変えることが可能だ。
$$ \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx $$
積分に関連して関数列の一様収束を考える理由は、点収束は微分可能性を保持しないからだ。言い換えれば、積分可能な$f_{n}$が$f$に点収束するとしても、$f$が積分可能であることを保証しない。
反例
区間$[0, 1]$で$f_{n} \to f$だが、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx \ne \int_{0}^{1} \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$
を満たす連続関数$f_{n}$と$f$が存在する。
証明
$f_{1}(x) = 1$とし、$n \gt 1$に対して、$f_{n}$を底辺の長さが$\dfrac{2}{n}$、高さが$n$の三角形のグラフを描くように定義する。 $$ f_{n}(x) = \begin{cases} n^{2}x & \text{if } 0 \le x \lt \frac{1}{n} \\ 2n - n^{2}x & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{2}{n} \lt x \le 1 \end{cases} $$
区間$[0, 1]$で$f_{n}$は$0$に点収束するため、
$$ \int_{0}^{1} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0 $$
しかし、$f_{n}$のグラフが描く三角形の面積は常に$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{n} \times n = 1$なので、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx = 1 $$
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証明
$f$は積分可能である。
$\varepsilon_{n} = \sup\limits_{x} \left| f_{n}(x) - f(x) \right|$とすれば次が成立する。
$$ f_{n} - \varepsilon_{n} \le f \le f_{n} + \varepsilon_{n} $$
そのため、$f$のリーマンの上積分と下積分について次が成立する。
$$ \implies \underline{\int} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \overline{\int} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx $$
$f_{n}$は積分可能なので$\displaystyle \left( \underline{\int} f_{n} = \int_{a}^{b} f_{n}= \overline{\int} f_{n} \right)$、
$$ \int_{a}^{b} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx \tag{2} $$
$$ \implies 0 \le \overline{\int} f dx - \underline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} 2\varepsilon_{n} dx = 2 \varepsilon_{n} (b-a) $$
$f_{n} \rightrightarrows f$なので$\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$だ。したがって、上積分と下積分は等しく、これは$f$がリーマン積分可能であることを意味する。
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$(1)$が成立する
$f$は積分可能なので$(2)$から次を得る。
$$ \int_{a}^{b} f dx \le \int_{a}^{b} f_{n} + \varepsilon_{n} dx $$
$$ \implies \left| \int_{a}^{b} f dx - \int_{a}^{b} f_{n} dx \right| \le \varepsilon_{n} (b-a) $$
$\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$なので、$\lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx = \int_{a}^{b} f dx$だ。
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