📂解析学

解析学における平均値定理

定理

関数 $f$ と $g$ が区間 $[a,b]$ で連続し、$(a,b)$ で微分可能であるとしよう。すると下の式を満足する $x \in (a,b)$ が存在する。

$$[f(b)-f(a)]g^{\prime}(x)=[g(b)-g(a)]f^{\prime}(x)$$

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両端点 $a$、$b$ では微分可能である必要はないことに注意しろ。

説明

これは高校や微積分学で習った平均値定理を一般化したものだ。$g(x)=x$ とすると、よく見る形になる。

結論: 平均値定理

関数 $f$ が $[a,b]$ で連続し、$(a,b)$ で微分可能な実数関数であるとしよう。すると下の式を満足する $x\in (a,b)$ が存在する。

$$f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(x)$$

証明

関数 $h$ を次のようにしよう。

$$h(t) = [f(b)-f(a)]g(t) -[g(b)-g(a)]f(t)\quad (a\le t \le b)$$

すると $h$ は連続関数の和なので $[a,b]$ で連続である。さらに微分可能な関数の和なので $(a,b)$ で微分可能である。すると次が成り立つ。

$$h^{\prime}(t)= [f(b)-f(a)]g^{\prime}(t) -[g(b)-g(a)]f^{\prime}(t)$$

それから次の式も成り立つ。

$$\begin{equation} \begin{aligned} h(a) &= [f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a) \\ &= f(b)g(a)-f(a)g(b) \\ &= [f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b) \\ &= h(b) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}$$

これである $x\in (a,b)$ について $h^{\prime}(x)=0$ が成り立つことを示せば証明は終わりだ。

• ケース 1. $h$ が定数の場合

  すべての $x \in (a,b)$ について $h^{\prime}(x)=0$ が成り立つ。

• ケース 2. 何らかの $t\in (a,b)$ について $h(t) > h(a)$ の場合

  最大最小定理により、$h$ の関数値が最大になる $x\in [a,b]$ が存在する。すると $\eqref{eq1}$ により、$x \in (a,b)$ が成り立つ。すると $x$ が $h$ の極大であり$x$ で微分可能なので $h^{\prime}(x)=0$が成り立つ。

• ケース 3. 何らかの $t \in (a,b)$ について $h(t)<h(a)$ の場合

  このケースも **ケース 2.**と同様に、$h$ の極小 $x\in (a,b)$ が存在し、$h^{\prime}(x)=0$ が成り立つ。

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