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コンプトン散乱 📂量子力学

コンプトン散乱

公式

入射光の波長をλ\lambda、散乱された光子の波長をλ′\lambda^{\prime}としよう。このとき、以下の式が成り立つ。

λ′−λ=hmec(1−cos⁡θ) \lambda^{\prime} -\lambda = \frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta)

ここで、hhはプランク定数、mem_{e}は電子の質量、ccは光の速度、θ\thetaは散乱角である。エネルギーについて表すと

cos⁡θ=1−mec2(E−E′)E′E \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E}

説明

コンプトン散乱1は、X線が電子と出会ったときにX線と電子がはじけ飛ぶ現象のことをいう。このとき、散乱されたX線は波長が長くなり、エネルギーの観点ではエネルギーが減少することになる。これはX線、すなわち光が粒子の性質を持っている証拠になる。

λ′−λ=hmec(1−cos⁡θ)>0 \lambda ^{\prime}-\lambda=\dfrac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta) > 0が成り立つので、衝突後の光の波長は長くなる。これは実験結果と良く一致し、光が粒子の性質を持っていることを裏付けてくれる。

導出

戦略: 運動量保存則とエネルギー保存則を使用して結果を導き出す。

衝突前の光子の運動量をpγ\mathbf{p}_\gamma、衝突前の電子の運動量をpe\mathbf{p}_{e}、衝突後の光子の運動量をpγ′\mathbf{p}_\gamma^{\prime}、衝突後の電子の運動量をpe′\mathbf{p}_{e}^{\prime}としよう。 5F4F54FA2.png

Part 1. 運動量保存則

衝突後の電子については情報がないので、pe′\mathbf{p}_{e}^{\prime}について整理しよう。

pγ+pe=pγ′+pe′ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}+\mathbf{p}_{e}^{\prime}

衝突前の電子は静止状態にあるのでpe=0\mathbf{p}_{e}=0である。

pγ+pe−pγ′=pe′ \mathbf{p}_{\gamma}+\mathbf{p}_{e}-\mathbf{p}_{\gamma}^{\prime}=\mathbf{p}_{e}^{\prime}

光子の静止質量は00なのでpγ=Ec=hνc p_\gamma=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}であり、これを代入すると

h2ν2c2+h2ν′2c2−2h2νν′c2cos⁡θ=(pe′)2(1) \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta=(p_{e}^{\prime})^2\tag{1}

Part 2. エネルギー保存則

今、衝突前の光子のエネルギーをEγE_\gamma、衝突後の光子のエネルギーをEγ′E_{\gamma}^{\prime}、衝突前の電子のエネルギーをEeE_{e}、衝突後の電子のエネルギーをEe′E_{e}^{\prime}としよう。すると

Eγ′+Ee′=Eγ+Ee  ⟹  Ee′=Eγ+Ee−Eγ′  ⟹  (Ee′)2=(Eγ+Ee−Eγ′)2  ⟹  (Ee′)2=(Eγ)2+(Ee)2+(Eγ′)2+2EγEe−2EγEγ′−2EeEγ′ \begin{align*} && E_{\gamma}^{\prime}+E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e} \\ \implies && E_{e}^{\prime} &= E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime} \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma+E_{e}-E_{\gamma}^{\prime})^2 \\ \implies && (E_{e}^{\prime})^2 &= (E_\gamma)^2+(E_{e})^2+(E_{\gamma}^{\prime})^2+2E_\gamma E_{e}-2E_\gamma E_{\gamma}^{\prime}-2E_{e}E_{\gamma}^{\prime} \end{align*}

光子のエネルギーはE=hνE=h\nuであり、相対論的エネルギーはE=(mc2)2+p2c2 E=\sqrt{(mc^2)^2+p^2c^2}であるので h2ν2+me2c4+h2ν′2+2hνmec2−2h2νν′−2mec2hν′=mec4+(pe′)2c2 h^2\nu^2+m_{e}^2c^4+h^2{\nu^{\prime}}^{2}+2h\nu m_{e}c^2-2h^2\nu\nu^{\prime}-2m_{e}c^2h\nu^{\prime}=m_{e}c^4+(p_{e}^{\prime})^2c^2 (pe′)2(p_{e}^{\prime})^2について整理すると h2ν2c2+h2ν′2c2+2meh(ν−ν′)−2h2νν′c2=(pe′)2(2) \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}=(p_{e}^{\prime})^2 \tag{2}

Part 3. (1)(1)と(2)(2)によって

h2ν2c2+h2ν′2c2−2h2νν′c2cos⁡θ= h2ν2c2+h2ν′2c2+2meh(ν−ν′)−2h2νν′c2  ⟹  −2h2νν′c2cos⁡θ=2meh(ν−ν′)−2h2νν′c2  ⟹  2meh(ν−ν′)= 2h2νν′c2(1−cos⁡θ)  ⟹  (ν−ν′)= hmeνν′c2(1−cos⁡θ) \begin{align*} && \frac{h^2\nu^2}{c^2}+\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2}-\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta&=\ \frac{h^2\nu^2}{c^2} +\frac{h^2{\nu^{\prime}}^{2}}{c^2} +2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}\cos\theta& =2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime}) -\frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2} \\ \implies && 2m_{e} h(\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{2h^2\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \\ \implies && (\nu-\nu^{\prime})&=\ \frac{h}{m_{e}}\frac{\nu\nu^{\prime}}{c^2}(1-\cos\theta) \end{align*}

両辺にνν′\nu\nu^{\prime}を割り、cを掛けると

cν′−cν=hme1c(1−cos⁡θ) \frac{c}{\nu^{\prime}}-\frac{c}{\nu}=\frac{h}{m_{e}}\frac{1}{c}(1-\cos\theta)

λ=cν\displaystyle \lambda=\frac{c}{\nu}であるので

λ′−λ=hmec(1−cos⁡θ) \lambda ^{\prime}-\lambda=\frac{h}{m_{e} c}(1-\cos\theta)

E=hν=hcλE=h\nu=\dfrac{ hc }{ \lambda }なので上の式をよく整理すると

cos⁡θ=1−mec2(E−E′)E′E \cos \theta=1-\frac{m_{e}c^{2}(E-E^{\prime})}{E^{\prime}E}

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  1. 컴프턴 효과(Compton Effect)라고도 한다. ↩︎