📂数理物理学

曲線座標系における座標変換とヤコビアン

公式

3次元のデカルト座標系での体積は、任意の曲線座標系について次のように表される。

$$dxdydz =\begin{vmatrix} \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3} } \end{vmatrix} dq_{1}dq_{2}dq_{3} = \begin{vmatrix}\dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}} \\[1em] \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}} \\[1em] \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3}} \end{vmatrix}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$$

ここで、係数として表される行列式をジャコビアン^Jacobicanと呼び、$J$と表記する。それぞれの座標系のジャコビアンは以下の通りである。

• 極座標系：

  $$J_{polar}=\begin{vmatrix}\dfrac{ \partial x}{ \partial r} & \dfrac{ \partial x}{ \partial \theta} \\[1em] \dfrac{ \partial y}{ \partial r} & \dfrac{ \partial y}{ \partial \theta} \end{vmatrix}=r$$

• 円柱座標系：

  $$J_{cylinderical}= \begin{vmatrix}\dfrac{ \partial x}{ \partial \rho} & \dfrac{ \partial x}{ \partial \phi} & \dfrac{ \partial x}{ \partial z} \\[1em] \dfrac{ \partial y}{ \partial \rho} & \dfrac{ \partial y}{ \partial \phi} & \dfrac{ \partial y}{ \partial z} \\[1em] \dfrac{ \partial z}{ \partial \rho} & \dfrac{ \partial z}{ \partial \phi} & \dfrac{ \partial z}{ \partial z} \end{vmatrix}=\rho$$

• 球座標系：

  $$J_{spherical}=\begin{vmatrix}\dfrac{ \partial x}{ \partial r} & \dfrac{ \partial x}{ \partial \theta} & \dfrac{ \partial x}{ \partial \phi} \\[1em] \dfrac{ \partial y}{ \partial r} & \dfrac{ \partial y}{ \partial \theta} & \dfrac{ \partial y}{ \partial \phi} \\[1em] \dfrac{ \partial z}{ \partial r} & \dfrac{ \partial z}{ \partial \theta} & \dfrac{ \partial z}{ \partial \phi} \end{vmatrix}=r^{2}\sin\theta$$

証明

上記のように位置ベクトル$\mathbf{r}$が変わるときに生じる平行六面体の体積は以下のようである。

$$d\mathbf{r}_{x} \cdot (d\mathbf{r}_{y} \times d\mathbf{r}_{z})=dxdydz$$

曲線座標系で$d\mathbf{r}_{i}$を$i$成分が$dq_{i}$だけ変わったときの位置ベクトル$\mathbf{r}$の変化としよう。

$$d\mathbf{r}=d\mathbf{r}_{1}+d\mathbf{r}_{2}+d\mathbf{r}_{3}$$

すると$d\mathbf{r}$が作る平行六面体の体積は、デカルト座標系で表現されても、任意の曲線座標系で表現されても変わらない。つまり、どの座標系でも$d\mathbf{r}_{1}\cdot (d\mathbf{r}_{2}\times d\mathbf{r}_{3})$の値は変わらず、表現する変数だけが違うということである。もし$dq_{i}$が非常に小さい変化であるなら、以下のように近似できる。

$$\begin{align*} d\mathbf{r}_{1} &= \mathbf{r}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})-\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3}) \\[1em] &=\dfrac{ \mathbf{r}(q_{1}+dq_{1},q_{2},q_{3})-\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3})}{ d q_{1} }dq_{1} \\[1em] &= \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }dq_{1}=\left( \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}}\hat{\mathbf{x}}+\dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1} }\hat{\mathbf{z}} \right)dq_{1} \\[1em] d\mathbf{r}_{2} &= \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2} }dq_{2}=\left( \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}}\hat{\mathbf{x}}+\dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2} }\hat{\mathbf{z}} \right)dq_{2} \\[1em] d\mathbf{r}_{3} &= \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3}=\left( \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}}\hat{\mathbf{x}}+\dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}}\hat{\mathbf{y}}+\dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3} }\hat{\mathbf{z}} \right)dq_{3} \end{align*}$$

だから、体積を計算すると以下のようになる。

$$\begin{align*} d\mathbf{r}_{1} \cdot (d\mathbf{r}_{2}\times d\mathbf{r}_{3}) &= \left( \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{1} \right)\cdot \left( \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{2}\times \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3}\right) \\[1em] &= \left( \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}} \right)\cdot \left( \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}\times \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}\right)dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3} } \end{vmatrix} dq_{1}dq_{2}dq_{3} \end{align*}$$

任意の行列$A$について、$\left| A^{T} \right| =\left| A \right|$であるので、以下を得る。

$$\begin{align*} dxdydz &=\begin{vmatrix} \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2} } \\[1em] \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3} } \end{vmatrix} dq_{1}dq_{2}dq_{3} \\[1em] &= \begin{vmatrix}\dfrac{ \partial x}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial x}{ \partial q_{3}} \\[1em] \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial y}{ \partial q_{3}} \\[1em] \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{1}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{2}} & \dfrac{ \partial z}{ \partial q_{3}} \end{vmatrix}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \end{align*}$$

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