📂シュワルツ超函数

超関数の積の微分法

定理¹

$T\in D^{\ast}$を超関数、$f \in C^{\infty}$をスムース関数としよう。すると、以下の式が成り立つ。

$$ (fT)^{\prime}= f^{\prime}T+fT^{\prime} $$

説明

既存の積の微分法則とピッタリ合っているので、超関数の微分と超関数の積がうまく定義されたと感じることができる。

証明

超関数の微分と積の定義により、以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} D( fT (\phi) ) &= D( T(f\phi) ) \\ &= T\left( (f\phi)^{\prime} \right) \\ &= T(f^{\prime}\phi+f\phi^{\prime}) \\ &= T(f^{\prime}\phi)+T(f\phi^{\prime}) \\ &=f^{\prime}T(\phi)+fT(\phi^{\prime}) \\ &= f^{\prime}T(\phi)+fT^{\prime}(\phi) \end{align*} $$

したがって、以下を得る。

$$ (fT)^{\prime}=f^{\prime}T+fT^{\prime} $$

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