📂シュワルツ超函数

超関数のダイレーション

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超関数はドメインが関数空間であるため、実数空間で定義された関数と同じ方法でダイレーションすることができない。しかし、正則超関数の場合、対応する局所可積分な関数$u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$が存在し、以下のように表される。

$$T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

従って、$u$にかけられるある作用$S$によって、$Su=u^{\prime}$を得ることができるだろうが、まだ$u^{\prime}$が局所可積分関数であれば、そこに対応する超関数$T_{u^{\prime}}$が存在する。だから、$u$に対する作用$S$を$T_{u}$に対する作用であるかのように考えてみるのだ。このアイデアを全超関数に拡張し、超関数のダイレーションを定義しようとしている。

$c>0$に対するダイレーションを$D_{c}$としよう。そして、$u$のダイレーションを$u^{\prime}(x)=D_{c}u(x)=\frac{1}{\sqrt{c}}u({\textstyle \frac{x}{c}})$としよう。すると、まだ$u^{\prime}\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$が成り立つ。従って、対応する正則超関数$T_{u^{\prime}}$が存在し、テスト関数$\phi \in \mathcal{D}$に対しては次のようになる。

$$\begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi)&=\int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{c}}u\left( \frac{x}{c} \right)\phi (x)dx \\ &=\int u(x) \sqrt{c}\phi (cx)dx \\ &= \int u(x) D_{1/c}\phi (x) dx \\ &= T_{u}(D_{1/c}\phi) \end{align*}$$

定義¹

超関数$T$のダイレーションは、次のように定義する。

$$(D_{c}T)(\phi):= T_{u}(D_{1/c}\phi)$$