べき級数の収束半径
📂解析学べき級数の収束半径
まとめ
与えられたべき級数n=0∑∞cn(x−a)nについて、αとRは次のように定義される。
α=n→∞limsupn∣cn∣,R=α1
それで、∣x−a∣<Rのとき級数は収束し、∣x−a∣>Rのとき級数は発散する。
- α=0ならばR=∞、α=∞ならばR=0にする。
定義
上記の定理に従い、Rはべき級数n=0∑∞cn(x−a)nの収束半径radius of convergenceと呼ばれる。
説明
以下の証明から、収束半径がRのべき級数∑cn(x−a)nは開区間(a−R,a+R)で絶対収束することがわかる。
証明
an=cn(x−a)nなので、ここで根判定法を適用すると、
n→∞limsupn∣an∣=n→∞limsupn∣cn∣∣x−a∣n=n→∞limsupn∣cn∣∣x−a∣=R∣x−a∣
根判定法によってR∣x−a∣<1のとき級数が収束し、R∣x−a∣>1のとき発散する。
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