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べき級数の収束半径 📂解析学

べき級数の収束半径

まとめ1

与えられたべき級数n=0cn(xa)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}について、α\alphaRRは次のように定義される。

α=lim supncnn,R=1α \alpha = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}, \qquad R = \dfrac{1}{\alpha}

それで、xa<R\left| x - a \right| \lt Rのとき級数は収束し、xa>R\left| x - a \right| \gt Rのとき級数は発散する。

  • α=0\alpha = 0ならばR=R = \inftyα=\alpha = \inftyならばR=0R = 0にする。

定義

上記の定理に従い、RRはべき級数n=0cn(xa)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}収束半径radius of convergenceと呼ばれる。

説明

以下の証明から、収束半径がRRのべき級数cn(xa)n\sum\limits_{} c_{n} (x - a)^{n}は開区間(aR,a+R)(a - R, a + R)絶対収束することがわかる。

証明

an=cn(xa)na_{n} = c_{n} (x - a)^{n}なので、ここで根判定法を適用すると、

lim supnann=lim supncnxann=lim supncnnxa=xaR \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}| \left| x - a \right|^{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} \left| x - a \right| = \dfrac{\left| x - a \right|}{R}

根判定法によってxaR<1\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \lt 1のとき級数が収束し、xaR>1\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \gt 1のとき発散する。


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p69 ↩︎