📂確率論

連続写像定理の証明

統計 ¹

次は、連続写像定理の測度論的記述です。

距離空間 $\left( S , d \right)$ と $\left( S' , d’ \right)$ について、$g : S \to S'$ が $C_{g} \subset S$ から連続だとしましょう。$S$ の確率要素 $X$ に対して、$P \left( X \in C_{g} \right) = 1$ ならば $X$ に収束する確率要素のシーケンス $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ に対して次のように成り立ちます。 $$X_{n} \overset{D}{\to} X \implies g \left( X_{n} \right) \overset{D}{\to} g(X) \\ X_{n} \overset{P}{\to} X \implies g \left( X_{n} \right) \overset{P}{\to} g(X) \\ X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X \implies g \left( X_{n} \right) \overset{\text{a.s.}}{\to} g(X)$$

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• $C_{g} \subset S$ は関数 $g$ が連続である点の集合を示します。
• $\overset{P}{\to}$、$\overset{D}{\to}$、$\overset{\text{a.s.}}{\to}$ はそれぞれ確率収束、分布収束、殆ど確実に収束を意味します。

説明

連続関数をかけても収束性が保証される性質は、収束の定義方法に関わらず、数学全般で一般的に見られる現象です。しかし、Continuous Mapping Theoremという名称は、主に確率論で使用されます。有名な系として、学部の数理統計学のレベルでステートメント程度にのみ紹介されるスラッツキーの定理^{slutsky’s theorem}があります。

スラッツキーの定理²： 定数 $a,b$ と確率変数 $A_{n}, B_{n} ,X_{n} , X$ について、$a_{n} \overset{P}{\to} a$、$B_{n} \overset{P}{\to} b$、$X_{n} \overset{D}{\to} X$ の場合、 $$A_{n} + B_{n} X_{n} \overset{D}{\to} a + b X$$

事実自体は、学部の数理統計学のような基礎的な科目でも使われると仮定されますが、背景知識なしに理解しやすい証明を見つけるのは難しく、そのために測度論が引用された証明が紹介されました。もし自分が学部生で実解析の理解が足りないなら、証明を理解できなくても普通であり、失望する必要はありません。むしろ、もっと難しい数学を学ぶ必要があると思う、とりあえず事実としてうまく使おうという気持ちで十分です。

証明

分布収束

混合定理の系として得られる。

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確率収束

$\varepsilon > 0$ を固定し、任意の $\delta > 0$ に対して次の集合 $C_{g}^{\delta} \subset C_{g}$ を定義しましょう。 $$C_{g}^{\delta}:= \left\{ x \in C_{g} \mid \exists y : y \in B \left( x;\delta \right) \land g(y) \notin B ' \left( g(x) ; \varepsilon \right) \right\}$$ この集合は、$g$ が連続である点 $x$ を集め、$g(y)$ と $g(x)$ から十分に遠い $y$ を選ぶことができ、半径 $\delta$ 内にあります。もちろん、$\delta > 0$ が小さくなるほど、そのような $y$ が半径の中に存在する可能性は減りますが、自明で $\displaystyle \lim_{\delta \to 0} C_{g}^{\delta} = \emptyset$ です。今 $d’ \left( g(X) , g \left( X_{n} \right) \right) \ge \varepsilon$ と仮定してみると、少なくとも次の3つのうち1つは真である必要があります：

• (1): $d \left( X , X_{n} \right) > \delta$：最初から $X$ と $X_{n}$ が遠すぎるため、$g$ が連続であっても $g(X)$ と $g \left( X_{n} \right)$ も遠い。
• (2): $X \in C_{g}^{\delta}$：$X$ は連続だが、$\delta$ 半径内の $X_{n}$ に対しては、$g(X_{n})$ と $g (X)$ の距離が遠い。
• (3): $X \notin C_{g}$：$X$ が連続でないため、$g(X)$ と $g \left( X_{n} \right)$ が遠い。

これを確率を使って数式で表すと $$P \left( d’ \left( g \left( X_{n} \right) , g(X) \right) > \varepsilon \right) \le P \left( d \left( X_{n} , X \right) \ge \delta \right) + P \left( X \in C_{g}^{\delta} \right) + P \left( X \notin C_{g} \right)$$ 右辺の各項は

• (1): 前提から $X_{n} \overset{P}{\to} X$ なので、全ての $\delta >0$ に対して $$\lim_{n \to \infty} P \left( d \left( X_{n} , X \right) \ge \delta \right) = 0$$
• (2): 上記で $\displaystyle \lim_{\delta \to 0} C_{g}^{\delta} = \emptyset$ としたので $$\lim_{\delta \to 0} P \left( X \in C_{g}^{\delta} \right) = 0$$
• (3): 前提から $P \left( X \in C_{g} \right) = 1$ なので $$P \left( X \notin C_{g} \right) = P \left( X \in C_{g}^{c} \right) = 0$$

まとめると $$\lim_{n \to \infty} P \left( d’ \left( g \left( X_{n} \right) , g (X) \right) > \varepsilon \right) = 0$$

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殆ど確実に収束

$g$ が連続である点 $\omega \in C_{g}$ に対して、 $$\lim_{n \to \infty} X_{n} (\omega) = X (\omega) \implies \lim_{n \to \infty} g \left( X_{n} (\omega) \right) = g \left( X (\omega) \right)$$ 事象として見て、包含関係で示すと $$\left[ \lim_{n \to \infty} X_{n} (\omega) = X (\omega) \right] \subset \left[ \lim_{n \to \infty} g \left( X_{n} (\omega) \right) = g \left( X (\omega) \right) \right]$$ 前提から $X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X$、すなわち $\displaystyle P \left( \lim_{n \to \infty } X_{n} = X , X \in C_{g} \right) = 1$ なので $$\begin{align*} P \left[ \lim_{n \to \infty} g \left( X_{n} (\omega) \right) = g \left( X (\omega) \right) \right] \ge & P \left[ \lim_{n \to \infty} g \left( X_{n} (\omega) \right) = g \left( X (\omega) \right) , X \in C_{g} \right] \\ \ge & P \left[ \lim_{n \to \infty} X_{n} (\omega) = X (\omega) , X \in C_{g} \right] \\ =& 1 \end{align*}$$

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