📂多変数ベクトル解析

ベクトル場における発散

定義

ユークリッド空間で定義されたベクトル場 $\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ が $\textbf{f} = (f_{1} , \cdots , f_{n})$ のように示され、軸の方向を $u_{1} , \cdots , u_{n}$ とする場合、$\textbf{f}$ の**ダイバージェンス**を以下のように定義する。

$$ \operatorname{div} \textbf{f} := \nabla \cdot \textbf{f} = \sum_{k=1}^{n} {{ \partial f_{k} } \over { \partial u_{k} }} $$

説明

ベクトル場のダイバージェンスは、ある点 $\textbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ でベクトルが集まるのか、広がるのかを示す一つの尺度となる。

¹

ダイバージェンスは流れの量を示すため、動力学、流体力学、電磁気学などでよく言及される。$0$ の大きさを比較できることは、$\nabla \cdot \textbf{f} (\textbf{v}) \in \mathbb{R}$ を意味し、つまり、ある点でのダイバージェンスがスカラーであることを再度思い出させることができる。これは、与えられたベクトル場からダイバージェンスを通して物理的または数学的な意味を持つスカラーフィールドを引き出すことができるということである。

$\nabla$ はナブラと読み、勾配を計算するときにも使用されるが、$\nabla \cdot$ の形で使用されると少し異なる意味になる。私たちに馴染みのある$3$ 次元で考えよう。スカラー関数 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ の勾配は

$$ \nabla f = \left( {{ \partial f } \over { \partial x }} , {{ \partial f } \over { \partial y }} , {{ \partial f } \over { \partial z }} \right) $$

のように求められた。大まかな数学で、ベクトル$\textbf{x}=(x_{1} , x_{2} , x_{3})$ とスカラー$a \in \mathbb{R}$ のスカラー積は

$$ \textbf{x} a = (x_{1} , x_{2} , x_{3}) a = (x_{1} a , x_{2} a , x_{3} a) $$

のように表せるように、$\nabla$ を各軸の方向に偏微分するベクトル作用素 $\displaystyle \nabla \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right)$ と考えると、スカラー関数$f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ とのスカラー積は

$$ \nabla f \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right) f \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} f , {{ \partial } \over { \partial y }} f , {{ \partial } \over { \partial z }} f \right) $$

のように表現されるとも考えられるだろう。このような間違った表現をベクトル関数$\textbf{f} := \left( f_{1} , f_{2} , f_{3} \right)$ に拡張してみると、二つのベクトル$\nabla$ と$\textbf{f}$ の内積$\cdot$ は

$$ \nabla \cdot \textbf{f} \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right) \cdot \left( f_{1} , f_{2} , f_{3} \right) \overset{?}{=} {{ \partial } \over { \partial x }} f_{1} + {{ \partial } \over { \partial y }} f_{2} + {{ \partial } \over { \partial z }} f_{3} $$

のように表せるだろう。

しかしこれは、便宜上の表記であり、そのような表現の正当性をしっかりと検討していない限り、理解を助ける方法としてのみ考えるべきである。冷静に見て、$\nabla$ は$f$ の勾配を示すスカラー関数の関数であり、$(\nabla \cdot)$ はまるごと$\textbf{f}$ のダイバージェンスを示すベクトル関数の関数に過ぎない。$\nabla$ と$\cdot$ を別々に考えてもいいかもしれないが、軽々しく別々に考えないように。