📂古典力学

物理振り子

定義¹

重力の影響で固定された水平軸を中心に振動する剛体を物理振り子^{physical pendulum}と呼ぶ。

物理振り子

振り子の運動は調和振動の一種だ。質量中心に作用するトルクの大きさは以下の通りだ。

$$ \begin{align*} N &=\left| \mathbf{r} \times \mathbf{F} \right| \\ &= rF\sin\theta \\ &=lmg \sin\theta \end{align*} $$

トルクを慣性モーメントで表すと、$N=I \dot{\omega}=I\ddot{\theta}$より運動方程式を得る。

$$ \begin{align*} && I\ddot{\theta} &= mgl\sin \theta \\ \implies&& I\ddot{\theta} -mgl\sin\theta &=0 \\ \implies && \ddot{\theta} -\frac{mgl}{I}\sin\theta &=0 \end{align*} $$

$\theta$が十分小さい場合は、$\sin\theta \approx \theta$となるので、運動方程式を以下のように書ける。

$$ \ddot{\theta} - \frac{mgl}{I}\theta=0 $$

上の微分方程式は単純調和振動と同じ形で、解は以下の通りだ。

$$ \theta (t) = \theta _{0}\cos (2\pi f_{0}t-\delta) $$

ここで$\theta_{0}$は振幅、$\delta$は位相角、$f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mgl }{I}}$は振動数だ。周期は振動数の逆数なので、以下のようになる。

$$ \begin{equation} T_{0}=\frac{1}{f_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}=2\pi \sqrt{\frac{ k^{2}}{gl}} \label{eq1} \end{equation} $$

この時、$k$は回転半径だ。上の結果は、長さが$\frac{k^{2}}{l}$の単振り子の運動の周期と同じだ。

振動中心

並行軸定理を用いれば、慣性モーメント$I$を質量中心に関する慣性モーメント$I_{cm}$で表すことができる。

$$ I=I_{cm}+ml^{2} $$

回転半径で表せば、以下の通りだ。

$$ mk^{2}=mk_{cm}^{2}+ml^{2} $$

上記の式で$m$を簡約すると、以下の式を得る。

$$ k^{2}=k_{cm}^{2}+l^{2} $$

これを周期$\eqref{eq1}$に代入すると、以下のようになる。

$$ T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{gl}} $$

ここで、回転軸が$O$から$O^{\prime}$に変わった状況を考えてみよう。すると、回転軸$O^{\prime}$に対する周期は、以下のように分かる。

$$ T_{0}^{\prime}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{gl^{\prime}}} $$

したがって、以下の条件 $$ \frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{l}=\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{l^{\prime}} $$

を満たす時、回転軸$O$と回転軸$O^{\prime}$の周りの振動周期は同じであることが分かる。上記の式は、以下のように簡単に表現できる。

$$ \begin{align*} &&l^{\prime}(k_{cm}^{2}+l^{2}) &= l(k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}) \\ \implies && (l^{\prime}-l)k_{cm}^{2}&=ll^{\prime}(l^{\prime}-l) \\ \implies && k_{cm}^{2}=ll^{\prime} \end{align*} $$

この時、点$O^{\prime}$を点$O$に対する振動中心と呼ぶ。逆に、点$O$は点$O^{\prime}$の振動中心だ。