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不変多様体の安定性 📂動力学

不変多様体の安定性

定義

不変集合の安定性と不安定性 1

動力学系 (T,X,φt)\left( T, X , \varphi^{t} \right) のある固定点 x\overline{x} に対して二つの不変集合を次のように定義する。 Ws(x):={x:φtxx,t+}Wu(x):={x:φtxx,t} \begin{align*} W^{s} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to + \infty \right\} \\ W^{u} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to - \infty \right\} \end{align*} Ws(x)W^{s} \left( \overline{x} \right)x\overline{x}安定集合stable setとし、Wu(x)W^{u} \left( \overline{x} \right)x\overline{x}不安定集合unstable setとする。

不変マニホールド 2

空間 Rn\mathbb{R}^{n} と関数 f:RnRnf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} に対して次のようなベクトル場微分方程式として与えられているとする。 x˙=f(x) \dot{x} = f(x) 上記のような微分方程式で表されるシステムの固定点x\overline{x}が与えられているとき、線形化行列 A:=Df(x)A := D f \left( \overline{x} \right) の各固有値 λ\lambda に対応する固有ベクトル ee を実部 Re(λ)\operatorname{Re} (\lambda) に従って次のように分類し、その生成 span\text{span} を次のように示す。 Es:=span{e:λe=Ae,Re(λ)<0}Eu:=span{e:λe=Ae,Re(λ)>0}Ec:=span{e:λe=Ae,Re(λ)=0} E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) < 0 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) > 0 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) = 0 \right\} EsE^{s}安定マニホールドEuE^{u}不安定マニホールドEcE^{c}センターマニホールドとする。

空間 Rn\mathbb{R}^{n} と関数 g:RnRng : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} に対して次のようなベクトル場微分方程式として与えられているとする。 xg(x) x \mapsto g(x) 上記のようなシステムの固定点 x\overline{x} が与えられているとき、線形化行列 B:=Dg(x)B := D g \left( \overline{x} \right) の各固有値 λ\lambda に対応する固有ベクトル ee を絶対値 λ\left| \lambda \right| に従って次のように分類し、その生成 span\text{span} を次のように示す。 Es:=span{e:λe=Be,λ<1}Eu:=span{e:λe=Be,λ>1}Ec:=span{e:λe=Be,λ=1} E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| < 1 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| > 1 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| = 1 \right\} EsE^{s}安定マニホールドEuE^{u}不安定マニホールドEcE^{c}センターマニホールドとする。

説明

EE の添え字 s,u,cs,u,c はそれぞれステーブルstable、アンステーブルunstable、センターcenter の頭文字を取ったもので、次が成立する。 Rn=EsEuEc\mathbb{R}^{n} = E^{s} \oplus E^{u} \oplus E^{c}

11 次元では接近し離れ、22 次元ではどの方向から入りどの方向へ出るかを想像できるが、一般的なユークリッド空間Rn\mathbb{R}^{n}を考慮すると「方向」という概念は無意味である。したがって、ただ入るか出るかを単純化し、マニホールドという言葉を使う。

一方、教材によっては次のような簡略な定義3が用いられることもある。x\overline{x} がマップ gg の周期点であるとき、次のように定義された S(x)\mathcal{S}(\overline{x})x\overline{x} の安定マニホールド、U(x)\mathcal{U}(\overline{x})x\overline{x} の不安定マニホールドとする。 S(x):={xRn:limkfk(x)fk(x)=0}U(x):={xRn:limkfk(x)fk(x)=0} \begin{align*} \mathcal{S} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{k} ( x ) - f^{k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \\ \mathcal{U} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{-k} ( x ) - f^{-k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \end{align*}


  1. Kuznetsov. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory: p46. ↩︎

  2. Wiggins. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition(2nd Edition): p30, 40. ↩︎

  3. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p78. ↩︎