📂動力学

不変多様体の安定性

定義

ベクトル場の多様体¹

空間$\mathbb{R}^{n}$と関数$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$について、以下のようなベクトル場が微分方程式によって与えられているとする。 $$ \dot{x} = f(x) $$ 自律系の固定点$\overline{x}$が与えられたとき、線形化行列$A := D f \left( \overline{x} \right)$の各固有値$\lambda$に対応する固有ベクトル$e$を実部$\operatorname{Re} (\lambda)$に従って分類し、その生成$\text{span}$を以下のように示そう。 $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) < 0 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) > 0 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) = 0 \right\} $$ $E^{s}$を安定多様体、$E^{u}$を不安定多様体、$E^{c}$を中心多様体と呼ぶ。

地図の多様体²

空間$\mathbb{R}^{n}$と関数$g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$について、以下のようなベクトル場が微分方程式によって与えられているとする。 $$ x \mapsto g(x) $$ このようなシステムの固定点$\overline{x}$が与えられたとき、線形化行列$B := D g \left( \overline{x} \right)$の各固有値$\lambda$に対応する固有ベクトル$e$を絶対値$\left| \lambda \right|$に従って分類し、その生成$\text{span}$を以下のように示そう。 $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| < 1 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| > 1 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| = 1 \right\} $$ $E^{s}$を安定多様体、$E^{u}$を不安定多様体、$E^{c}$を中心多様体と呼ぶ。

説明

$E$の添字である$s,u,c$は、それぞれStable、Unstable、Centerの頭文字を取ったもので、以下が成り立つ。 $$\mathbb{R}^{n} = E^{s} \oplus E^{u} \oplus E^{c} $$

$1$次元では近づいたり遠ざかったり、$2$次元ではどの方向から来てどの方向へ行くかを想像できるが、一般的なユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$を考慮するとき、‘方向’という概念は意味をなさない。だから、単に入ったり出たりと単純化し、多様体という言葉を使う。

一方、教科書によっては以下のように簡単な定義を使用することもある³。$\overline{x}$がマップ$g$の周期点であるとき、以下で定義される$\mathcal{S}(\overline{x})$を$\overline{x}$の安定多様体、$\mathcal{U}(\overline{x})$を$\overline{x}$の不安定多様体とする。 $$ \mathcal{S} (\overline{x}) := \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{k} ( x ) - f^{k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \\ \mathcal{U} (\overline{x}) := \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{-k} ( x ) - f^{-k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} $$