不変多様体の安定性
📂動力学 不変多様体の安定性 定義 不変集合の安定性と不安定性 動力学系 ( T , X , φ t ) \left( T, X , \varphi^{t} \right) ( T , X , φ t ) のある固定点 x ‾ \overline{x} x に対して二つの不変集合 を次のように定義する。
W s ( x ‾ ) : = { x : φ t x → x ‾ , t → + ∞ } W u ( x ‾ ) : = { x : φ t x → x ‾ , t → − ∞ }
\begin{align*}
W^{s} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to + \infty \right\}
\\ W^{u} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to - \infty \right\}
\end{align*}
W s ( x ) := W u ( x ) := { x : φ t x → x , t → + ∞ } { x : φ t x → x , t → − ∞ }
W s ( x ‾ ) W^{s} \left( \overline{x} \right) W s ( x ) を x ‾ \overline{x} x の安定集合 stable set とし、W u ( x ‾ ) W^{u} \left( \overline{x} \right) W u ( x ) を x ‾ \overline{x} x の不安定集合 unstable set とする。
不変マニホールド 空間 R n \mathbb{R}^{n} R n と関数 f : R n → R n f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} f : R n → R n に対して次のようなベクトル場 が微分方程式 として与えられているとする。
x ˙ = f ( x )
\dot{x} = f(x)
x ˙ = f ( x )
上記のような微分方程式で表されるシステムの固定点 x ‾ \overline{x} x が与えられているとき、線形化 行列 A : = D f ( x ‾ ) A := D f \left( \overline{x} \right) A := D f ( x ) の各固有値 λ \lambda λ に対応する固有ベクトル e e e を実部 Re ( λ ) \operatorname{Re} (\lambda) Re ( λ ) に従って次のように分類し、その生成 span \text{span} span を次のように示す。
E s : = span { e : λ e = A e , Re ( λ ) < 0 } E u : = span { e : λ e = A e , Re ( λ ) > 0 } E c : = span { e : λ e = A e , Re ( λ ) = 0 }
E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) < 0 \right\}
\\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) > 0 \right\}
\\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) = 0 \right\}
E s := span { e : λ e = A e , Re ( λ ) < 0 } E u := span { e : λ e = A e , Re ( λ ) > 0 } E c := span { e : λ e = A e , Re ( λ ) = 0 }
E s E^{s} E s を安定マニホールド 、E u E^{u} E u を不安定マニホールド 、E c E^{c} E c をセンターマニホールド とする。
空間 R n \mathbb{R}^{n} R n と関数 g : R n → R n g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} g : R n → R n に対して次のようなベクトル場 が微分方程式 として与えられているとする。
x ↦ g ( x )
x \mapsto g(x)
x ↦ g ( x )
上記のようなシステムの固定点 x ‾ \overline{x} x が与えられているとき、線形化行列 B : = D g ( x ‾ ) B := D g \left( \overline{x} \right) B := D g ( x ) の各固有値 λ \lambda λ に対応する固有ベクトル e e e を絶対値 ∣ λ ∣ \left| \lambda \right| ∣ λ ∣ に従って次のように分類し、その生成 span \text{span} span を次のように示す。
E s : = span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ < 1 } E u : = span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ > 1 } E c : = span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ = 1 }
E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| < 1 \right\}
\\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| > 1 \right\}
\\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| = 1 \right\}
E s := span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ < 1 } E u := span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ > 1 } E c := span { e : λ e = B e , ∣ λ ∣ = 1 }
E s E^{s} E s を安定マニホールド 、E u E^{u} E u を不安定マニホールド 、E c E^{c} E c をセンターマニホールド とする。
説明 E E E の添え字 s , u , c s,u,c s , u , c はそれぞれステーブルstable 、アンステーブルunstable 、センターcenter の頭文字を取ったもので、次が成立する。
R n = E s ⊕ E u ⊕ E c \mathbb{R}^{n} = E^{s} \oplus E^{u} \oplus E^{c} R n = E s ⊕ E u ⊕ E c
1 1 1 次元では接近し離れ、2 2 2 次元ではどの方向から入りどの方向へ出るかを想像できるが、一般的なユークリッド空間 R n \mathbb{R}^{n} R n を考慮すると「方向」という概念は無意味である。したがって、ただ入るか出るかを単純化し、マニホールド という言葉を使う。
一方、教材によっては次のような簡略な定義 が用いられることもある。x ‾ \overline{x} x がマップ g g g の周期点であるとき、次のように定義された S ( x ‾ ) \mathcal{S}(\overline{x}) S ( x ) を x ‾ \overline{x} x の安定マニホールド、U ( x ‾ ) \mathcal{U}(\overline{x}) U ( x ) を x ‾ \overline{x} x の不安定マニホールドとする。
S ( x ‾ ) : = { x ∈ R n : lim k → ∞ ∣ f k ( x ) − f k ( x ‾ ) ∣ = 0 } U ( x ‾ ) : = { x ∈ R n : lim k → ∞ ∣ f − k ( x ) − f − k ( x ‾ ) ∣ = 0 }
\begin{align*}
\mathcal{S} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{k} ( x ) - f^{k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\}
\\ \mathcal{U} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{-k} ( x ) - f^{-k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\}
\end{align*}
S ( x ) := U ( x ) := { x ∈ R n : k → ∞ lim f k ( x ) − f k ( x ) = 0 } { x ∈ R n : k → ∞ lim f − k ( x ) − f − k ( x ) = 0 }