📂動力学

不変多様体の安定性

定義

不変集合の安定性と不安定性 ¹

動力学系 $\left( T, X , \varphi^{t} \right)$ のある固定点 $\overline{x}$ に対して二つの不変集合を次のように定義する。 $$ \begin{align*} W^{s} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to + \infty \right\} \\ W^{u} \left( \overline{x} \right) :=& \left\{ x : \varphi^{t} x \to \overline{x} , t \to - \infty \right\} \end{align*} $$ $W^{s} \left( \overline{x} \right)$ を $\overline{x}$ の安定集合^{stable set}とし、$W^{u} \left( \overline{x} \right)$ を $\overline{x}$ の不安定集合^{unstable set}とする。

不変マニホールド ²

空間 $\mathbb{R}^{n}$ と関数 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ に対して次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$ \dot{x} = f(x) $$ 上記のような微分方程式で表されるシステムの固定点$\overline{x}$が与えられているとき、線形化行列 $A := D f \left( \overline{x} \right)$ の各固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル $e$ を実部 $\operatorname{Re} (\lambda)$ に従って次のように分類し、その生成 $\text{span}$ を次のように示す。 $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) < 0 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) > 0 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = A e , \operatorname{Re} (\lambda) = 0 \right\} $$ $E^{s}$ を安定マニホールド、$E^{u}$ を不安定マニホールド、$E^{c}$ をセンターマニホールドとする。

空間 $\mathbb{R}^{n}$ と関数 $g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ に対して次のようなベクトル場が微分方程式として与えられているとする。 $$ x \mapsto g(x) $$ 上記のようなシステムの固定点 $\overline{x}$ が与えられているとき、線形化行列 $B := D g \left( \overline{x} \right)$ の各固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル $e$ を絶対値 $\left| \lambda \right|$ に従って次のように分類し、その生成 $\text{span}$ を次のように示す。 $$ E^{s} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| < 1 \right\} \\ E^{u} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| > 1 \right\} \\ E^{c} := \text{span} \left\{ e : \lambda e = B e , \left| \lambda \right| = 1 \right\} $$ $E^{s}$ を安定マニホールド、$E^{u}$ を不安定マニホールド、$E^{c}$ をセンターマニホールドとする。

説明

$E$ の添え字 $s,u,c$ はそれぞれステーブル^stable、アンステーブル^unstable、センター^center の頭文字を取ったもので、次が成立する。 $$\mathbb{R}^{n} = E^{s} \oplus E^{u} \oplus E^{c} $$

$1$ 次元では接近し離れ、$2$ 次元ではどの方向から入りどの方向へ出るかを想像できるが、一般的なユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$を考慮すると「方向」という概念は無意味である。したがって、ただ入るか出るかを単純化し、マニホールドという言葉を使う。

一方、教材によっては次のような簡略な定義³が用いられることもある。$\overline{x}$ がマップ $g$ の周期点であるとき、次のように定義された $\mathcal{S}(\overline{x})$ を $\overline{x}$ の安定マニホールド、$\mathcal{U}(\overline{x})$ を $\overline{x}$ の不安定マニホールドとする。 $$ \begin{align*} \mathcal{S} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{k} ( x ) - f^{k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \\ \mathcal{U} (\overline{x}) :=& \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : \lim_{k \to \infty} \left| f^{-k} ( x ) - f^{-k} ( \overline{x} ) \right| = 0 \right\} \end{align*} $$