円上の一点での接線の方程式を求める
📂幾何学円上の一点での接線の方程式を求める
説明
円 x2+y2=r2の上の一点(x1,y1)での接線の方程式を求めよう。y1=0の場合とy1=0の場合に分けられる。
y1=0

円の中心から接点までの傾きはx1y1だ。互いに垂直な二直線の傾きの積は-1なので、接線の傾きは−y1x1である。点(x1,y1)を通り、傾きが−y1x1の直線の方程式は
y−y1=−y1x1(x−x1)
⟹y1y−y12=−x1x+x12
⟹x1x+y1y=x12+y12=r2
だから、y1=0のとき接線の方程式は
x1x+y1y=r2
y1=0

図を見るとわかるように、(x1,0)のときx=x1=±rである。でも、y1=0のときの接線の方程式にy1=0を代入すると同じ形が出る。つまりy1=0のときでもy1=0のときでも同じ式が当てはまる。だから、円x2+y2=r2の上の一点(x1,y1)での接線の方程式はx1x+y1y=r2である。