logo

円上の一点での接線の方程式を求める 📂幾何学

円上の一点での接線の方程式を求める

説明

x2+y2=r2x^2+y^2=r^2の上の一点(x1,y1)(x_{1},y_{1})での接線の方程式を求めよう。y10y_{1}\neq 0の場合とy1=0y_{1}=0の場合に分けられる。

y10y_{1}\neq 0

1.png

円の中心から接点までの傾きはy1x1\dfrac{y_{1}}{x_{1}}だ。互いに垂直な二直線の傾きの積は-1なので、接線の傾きはx1y1-\dfrac{x_{1}}{y_{1}}である。点(x1,y1)(x_{1},y_{1})を通り、傾きがx1y1-\dfrac{x_{1}}{y_{1}}の直線の方程式は

yy1=x1y1(xx1)y-y_{1}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1})

    y1yy12=x1x+x12\implies y_{1}y-y_{1}^2=-x_{1}x+x_{1}^2

    x1x+y1y=x12+y12=r2\implies x_{1}x+y_{1}y=x_{1}^2+y_{1}^2=r^2

だから、y10y_{1}\neq 0のとき接線の方程式は

x1x+y1y=r2x_{1}x+y_{1}y=r^2


y1=0y_{1}=0

2.png

図を見るとわかるように、(x1,0)(x_{1},0)のときx=x1=±rx=x_{1}=\pm rである。でも、y10y_{1}\neq 0のときの接線の方程式にy1=0y_{1}=0を代入すると同じ形が出る。つまりy10y_{1}\neq 0のときでもy1=0y_{1}=0のときでも同じ式が当てはまる。だから、円x2+y2=r2x^2+y^2=r^2の上の一点(x1,y1)(x_{1},y_{1})での接線の方程式はx1x+y1y=r2x_{1}x+y_{1}y=r^2である。