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距離空間における集合の直径 📂距離空間

距離空間における集合の直径

定義1

EEを、距離空間 (X,d)(X,d)の部分集合だとしよう。そして、SSを以下のようにしよう。

S={d(p,q):p,qE} S=\left\{ d(p, q) : \forall p, q \in E\right\}

そうすると、SS最小上界 supS\sup SEEの直径と呼んで、diamE\operatorname{diam} Eで表記する。

説明

{pn}\left\{ p_{n} \right\}が距離空間 XXでの数列、EN={pN,pN+1,pN+2,}E_{N}=\left\{ p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\cdots \right\}だとしよう。そうすると、コーシー数列と直径の定義により、{pn}\left\{ p_{n} \right\}がコーシー数列であることは limNdiamEN=0 \lim \limits_{N\to\infty} \operatorname{diam} E_{N}=0 であることと同値だ。

定理

(a) EEが距離空間 XXの部分集合だとしよう。そしたら、以下が成立する。

diamE=diamE \operatorname{diam} \overline{E} = \operatorname{diam} E

この時、E\overline{E}EE閉包closureだ。

(b) {Kn}\left\{ K_{n} \right\}が距離空間でのコンパクト集合の数列だとしよう。KnKn+1K_{n}\supset K_{n+1}であり、

limndiamKn=0 \begin{equation} \lim \limits_{n\to\infty} \operatorname{diam}K_{n}=0 \end{equation}

であれば、n=1Kn\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}は正確に一点だけを持つ。

証明

(a)

EEE \subset \overline{E}であるから、以下の成立は自明だ。

diamEdiamE \operatorname{diam} E \le \operatorname{diam} \overline{E}

任意の正の数ε>0\varepsilon >0が与えられたとしよう。そして、二つの点p,qEp, q\in \overline{E}を選ぼう。閉包と極限点の定義により、

d(p,p)<εandd(q,q)<ε d(p,p^{\prime}) \lt \varepsilon \quad \text{and} \quad d(q, q^{\prime}) \lt \varepsilon

を満たすp,qEp^{\prime}, q^{\prime} \in Eが存在する。したがって、以下が成立する。

d(p,q)d(p,p)+d(p,q)+d(q,q)2ε+d(p,q)2ε+diamE \begin{align*} d(p, q) &\le d(p,p^{\prime}) +d(p^{\prime}, q^{\prime})+d(q^{\prime}, q) \\ &\le 2\varepsilon + d(p^{\prime}, q^{\prime}) \\ &\le 2\varepsilon + \operatorname{diam} E \end{align*}

これは任意のp,qEp, q \in \overline{E}に対して成立するので、以下が成立する。

diamE2ε+diamE \operatorname{diam} \overline{E} \le 2\varepsilon + \operatorname{diam} E

この時、ε\varepsilonは任意の正の数であるから、下記の式が成立する。

diamEdiamE \operatorname{diam} \overline{E} \le \operatorname{diam} E

従って、diamE=diamE\operatorname{diam} \overline{E}=\operatorname{diam} Eである。

(b)

K=n=1KnK=\bigcap _{n=1}^{\infty}K_{n}としよう。すると、KKは空集合ではない。もしKKが二つ以上の点を持っていたら、diamK>0\operatorname{diam} K >0になる。しかし、各nnに対してKnKK_{n} \supset Kであるから、以下が成立する。

diamKndiamK \operatorname{diam} K_{n} \ge \operatorname{diam} K

これは(1)(1)に対して矛盾なので、KKが二つ以上の点を持つという事実は間違っている。従って、KKは空ではなく、かつ、二つ以上の点は持たないので、正確に一点だけを持つ。


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p52-53 ↩︎