距離空間における集合の直径
📂距離空間距離空間における集合の直径
定義
Eを、距離空間 (X,d)の部分集合だとしよう。そして、Sを以下のようにしよう。
S={d(p,q):∀p,q∈E}
そうすると、Sの最小上界 supSをEの直径と呼んで、diamEで表記する。
説明
{pn}が距離空間 Xでの数列、EN={pN,pN+1,pN+2,⋯}だとしよう。そうすると、コーシー数列と直径の定義により、{pn}がコーシー数列であることは
N→∞limdiamEN=0
であることと同値だ。
定理
(a) Eが距離空間 Xの部分集合だとしよう。そしたら、以下が成立する。
diamE=diamE
この時、EはEの閉包closureだ。
(b) {Kn}が距離空間でのコンパクト集合の数列だとしよう。Kn⊃Kn+1であり、
n→∞limdiamKn=0
であれば、⋂n=1∞Knは正確に一点だけを持つ。
証明
(a)
E⊂Eであるから、以下の成立は自明だ。
diamE≤diamE
任意の正の数ε>0が与えられたとしよう。そして、二つの点p,q∈Eを選ぼう。閉包と極限点の定義により、
d(p,p′)<εandd(q,q′)<ε
を満たすp′,q′∈Eが存在する。したがって、以下が成立する。
d(p,q)≤d(p,p′)+d(p′,q′)+d(q′,q)≤2ε+d(p′,q′)≤2ε+diamE
これは任意のp,q∈Eに対して成立するので、以下が成立する。
diamE≤2ε+diamE
この時、εは任意の正の数であるから、下記の式が成立する。
diamE≤diamE
従って、diamE=diamEである。
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(b)
K=⋂n=1∞Knとしよう。すると、Kは空集合ではない。もしKが二つ以上の点を持っていたら、diamK>0になる。しかし、各nに対してKn⊃Kであるから、以下が成立する。
diamKn≥diamK
これは(1)に対して矛盾なので、Kが二つ以上の点を持つという事実は間違っている。従って、Kは空ではなく、かつ、二つ以上の点は持たないので、正確に一点だけを持つ。
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