📂解析学

収束する実数列の性質

定理1¹

$\left\{ s_{n} \right\}$, $\left\{ t_{n} \right\}$が実数（または複素数）の数列で、$\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s$, $\lim\limits_{n\to\infty}t_{n}=t$とすると

• (a) $\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}+t_{n})=s+t$

• (b) $\forall c \in \mathbb{C},\quad\lim \limits_{n\to\infty} cs_{n}=cs \quad \text{and} \quad \lim \limits_{n\to\infty} (c+s_{n})=c+s$

• (c) $\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st$

• (d) $\forall s_{n}\ne 0,s\ne0,\quad \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}$

---

もちろん$\mathbb{R}^{k}$についても拡張可能だ。定理2を確認しよう。

証明

(a)

任意の正数$\varepsilon>0$が与えられたとする。すると、以下の条件を満たす2つの正数$N_{1}$, $N_{2}$が存在する。

$$ \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\frac{\varepsilon}{2} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} $$

今、$N=\max(N_{1},N_{2})$としよう。そうすると、$n \ge N$に対して

$$ \left| (s_{n}+t_{n})-(s+t) \right| \le\left| s_{n}-s \right|+\left| t_{n} -t\right|<\varepsilon $$

である。従って

$$ \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}+t_{n})=s+t $$

■

(b)

**(a)**が成り立つことにより自明である。

■

$(c)$

任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとする。すると、以下の式を満たす2つの正数$N_{1}$, $N_{2}$が存在する。

$$ \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\sqrt{\varepsilon} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|< \sqrt{\varepsilon} \end{align*} $$

今、$N=\max (N_{1},N_{2})$とすると

$$ n \ge N \implies \left| (s_{n}-s) (t_{n}-t) \right|<\varepsilon $$

従って

$$ \begin{equation} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}-s)(t_{n}-t)=0 \label{eq1} \end{equation} $$

この時

$$ s_{n}t_{n}-st=(s_{n} -s)(t_{n}-t)+s(t_{n}-t)+t(s_{n}-s) $$

が成り立つ。上の式に(a)**, (b), $\eqref{eq1}$を適用すると

$$ \begin{align*} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}t_{n}-st)&=\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}-s)(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}s(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}t(s_{n}-s) \\ &= 0+0+ 0 \\ &= 0 \end{align*} $$

従って

$$ \lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st $$

■

(d)

$\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s$と仮定したので、以下の式を満たす正数$m$を選ぶことができる。

$$ \forall n\ge m,\quad \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right| $$

しかし、$\left|s \right|-\left|s_{n} \right| \le \left|s_{n}-s \right|$なので、上の式から以下の式を得る。

$$ \begin{equation} \forall n \ge m,\quad \left|s_{n} \right|>\frac{1}{2}\left|s \right| \label{eq2} \end{equation} $$

今、任意の正数$\varepsilon>0$が与えられたとする。すると、以下の式を満たす$N$が存在する。

$$ \begin{equation} n \ge N \implies \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right|^{2}\varepsilon \label{eq3} \end{equation} $$

従って$\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$により、$n \ge N$に対して

$$ \left|\frac{1}{s_{n}}-\frac{1}{s} \right|=\left|\frac{s_{n}-s}{s_{n}s} \right|<\frac{2}{\left|s \right|^{2}}\left|s_{n}-s \right|<\varepsilon $$

なので

$$ \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s} $$

■

定理2

$\mathbf{x}_{n} \in \mathbb{R}^{k}$が$\mathbf{x}_{n}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots,x_{n,k})$だとする。そうすると

• (e) ${\mathbf{x}_{n}}$が$\mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})$に収束する必要十分条件は$\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j} (1\le j \le k)$が成り立つことである。

• (f) $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$, $\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}$を$\mathbb{R}^{k}$での数列、$\left\{ \beta_{n} \right\}$を実数列とする。そして、以下の関係が成り立つと仮定する。

  $$ \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x},\quad\lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{y}_{n} = \mathbf{y}, \quad \lim \limits_{n\to\infty} \beta_{n}=\beta $$

  そうすると

  $$ \lim \limits_{n\to\infty}(\mathbf{x}_{n}+\mathbf{y}_{n})=\mathbf{x}+\mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}\cdot \mathbf{y}_{n}=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty}\beta_{n}\mathbf{x}_{n}=\beta\mathbf{x} $$

  が成り立つ。

証明

(e)

• $(\implies)$

  $\mathbf{x}_{n} \to \mathbf{x}$と仮定する。すると$\mathbb{R}^{k}$上での距離の定義により

  $$ \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right| $$

  は自明だ。従って仮定により、全ての正数$\varepsilon$に対して

  $$ n \ge N \implies \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right| < \varepsilon $$

  を満たす$N$が存在するので

  $$ \lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}\quad (1\le j \le k) $$

  が成り立つ。

  ■

• $(\impliedby)$

  各$j$に対して$\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}$が成り立つと仮定する。すると全ての正数$\varepsilon$に対して

  $$ n \ge N \implies \left|x_{n,j} -x_{j} \right| <\frac{\varepsilon}{\sqrt{k} } $$

  を満たす$N$が存在する。従って、同じ正数$\varepsilon$, $N$に対して

  $$ n \ge N \implies \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right|=\sqrt{\left|x_{n,1}-x_{1} \right|^{2}\cdots\left|x_{n,k}-x_{k} \right|^{2}}<\sqrt{k\frac{\varepsilon^{2}}{k}}=\varepsilon $$

  なので

  $$ \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x} $$

■

(f)

定理1 と (e) によって成り立つ。

■