累乗級数の微分
📂解析学累乗級数の微分
定理
べき級数 n=0∑∞cnxnが∣x∣<Rで収束するとする。そして関数 fを次のように定義する。
f(x)=n=0∑∞cnxn∣x∣<R(1)
すると、関数 fは(−R,R)で連続であり、微分可能で、その導関数は以下の通りだ。
f′(x)=n=1∑∞ncnxn−1∣x∣<R(2)
また、fとf′の収束半径は同じだ。
説明
(2)はまるで(1)の無限の項を項ごとに微分したような結果を与える。つまり、べき級数を微分するとき、多項式を微分するようにしてもよいということだ。
dxd[n=0∑∞cn(x−a)n]=n=0∑∞dxdcn(x−a)n
注意しないといけないのは、f′の収束半径がfと同じということだ。これは、fとf′の収束区間が同じという意味ではなく、区間の端点では収束性が変わるかもしれない。
証明
n→∞limnn=1によって、
n→∞limsupnn∣cn∣=n→∞limsupn∣cn∣
したがって、級数 n=0∑∞ncnxn−1の収束半径はfと同じだ。正の数 ϵ>0に対して、(2)の級数は[−R+ϵ,R−ϵ]で一様収束する。
一様収束と微分可能性
区間 [a,b]で微分可能な関数列 {fn:fn is differentiable on [a,b]}が点 x0∈[a,b]で点ごとに収束するとする。もし {fn′}が区間 [a,b]で一様収束するなら、{fn}も区間 [a,b]で微分可能な関数 fに一様収束し、次が成り立つ。
dxdn→∞limfn(x)=n→∞limdxdfn(x)a≤x≤b
fN(x)=n=0∑Ncnxnとし、fN′(x)=n=1∑Nncnxn−1とすると、上記の補助定理の条件を満たす。したがって、∣x∣<Rで、
dxdf=dxdN→∞limn=0∑Ncnxn=N→∞limdxdn=0∑Ncnxn=N→∞limn=1∑Nncnxn−1=n=1∑∞ncnxn−1
また、微分可能なら連続なので、fは連続だ。
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