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累乗級数の微分 📂解析学

累乗級数の微分

定理1

べき級数 n=0cnxn\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n}x<R\left| x \right| \lt Rで収束するとする。そして関数 ffを次のように定義する。

f(x)=n=0cnxnx<R(1) f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}x^{n} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{1}

すると、関数 ff(R,R)(-R, R)連続であり、微分可能で、その導関数は以下の通りだ。

f(x)=n=1ncnxn1x<R(2) f^{\prime}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1} \qquad \left| x \right| \lt R \tag{2}

また、ffff^{\prime}の収束半径は同じだ。

説明

(2)(2)はまるで(1)(1)の無限の項を項ごとに微分したような結果を与える。つまり、べき級数を微分するとき、多項式を微分するようにしてもよいということだ。

ddx[n=0cn(xa)n]=n=0ddxcn(xa)n \dfrac{d}{dx}\left[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n} \right] = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{d}{dx} c_{n}(x - a)^{n}

注意しないといけないのは、ff^{\prime}の収束半径ffと同じということだ。これは、ffff^{\prime}の収束区間が同じという意味ではなく、区間の端点では収束性が変わるかもしれない。

証明

limnnn=1\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1によって、

lim supnncnn=lim supncnn \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n |c_{n}|} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}

したがって、級数 n=0ncnxn1\sum\limits_{n = 0}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}収束半径ffと同じだ。正の数 ϵ>0\epsilon \gt 0に対して、(2)(2)の級数は[R+ϵ,Rϵ][-R + \epsilon, R - \epsilon]で一様収束する。

一様収束と微分可能性

区間 [a,b][a, b]で微分可能な関数列 {fn:fn is differentiable on [a,b]}\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is differentiable on } [a, b] \right\}が点 x0[a,b]x_{0} \in [a, b]で点ごとに収束するとする。もし {fn}\left\{ f_{n}^{\prime} \right\}が区間 [a,b][a, b]で一様収束するなら、{fn}\left\{ f_{n} \right\}も区間 [a,b][a, b]で微分可能な関数 ffに一様収束し、次が成り立つ。

ddxlimnfn(x)=limnddxfn(x)axb \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) \quad a \le x \le b

fN(x)=n=0Ncnxnf_{N}(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}x^{n}とし、fN(x)=n=1Nncnxn1f_{N}^{\prime}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{N} nc_{n} x^{n-1}とすると、上記の補助定理の条件を満たす。したがって、x<R \left| x \right| \lt Rで、

dfdx=ddxlimNn=0Ncnxn=limNddxn=0Ncnxn=limNn=1Nncnxn1=n=1ncnxn1 \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx} \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 0}^{N}c_{n}x^{n} = \lim\limits_{N \to \infty} \dfrac{d}{dx} \sum\limits_{n = 0}^{N}c_{n}x^{n} = \lim\limits_{N \to \infty} \sum\limits_{n = 1}^{N}nc_{n}x^{n-1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}

また、微分可能なら連続なので、ffは連続だ。


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p173-174 ↩︎