オイラーの調和級数の発散性に関する証明
定理
調和級数は発散する。
$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }=\infty $$
説明
調和級数は一見すると、その値が続けざまに小さくなるので収束しそうに見えるが、オレームはこれが発散することを非常に簡単で美しく証明した。こんな事実は主に絶対収束の概念を説明するための例としてよく使われていて、交互調和級数は$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{(-1)^{n-1}} \over {n}} = 1- {1 \over 2} + { 1 \over 3} - { 1 \over 4 }+ \cdots = \ln 2 < \infty$として収束する一方で、その絶対値の列の級数である調和級数は$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| {{(-1)^{n-1}} \over {n}} \right| = \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } }=\infty$が成立する。だから、「収束するからといって必ずしも絶対収束するわけではない」というのを説明する最も簡単な例になる。また、「無限級数が収束すれば、数列は0に収束する」という命題の逆が成立しないことを示す反例としてもいい。
証明
証明の核心は、無限に多くの$1/2$の和が発散するが、その和よりも調和級数が大きいという事実にある。全く難しくなく、きれいな証明法だ。
$$ \begin{align*} & \frac { 1 }{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 }+\frac { 1 }{ 5 }+\frac { 1 }{ 6 }+\frac { 1 }{ 7 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 9 }+\cdots \\ =& \frac { 1 }{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 3 }+\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 5 }+\frac { 1 }{ 6 }+\frac { 1 }{ 7 }+\frac { 1 }{ 8 } \right) +\frac { 1 }{ 9 }+\cdots \\ >& 1+\frac { 1 }{ 2 }+\left( \frac { 1 }{ 4 }+\frac { 1 }{ 4 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 }+\frac { 1 }{ 8 } \right) +\cdots \\ =& 1+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 }+\cdots \end{align*} $$
■