📂解析学

解析学における極値の定義と微分係数との関係

定義

$(X,d)$を距離空間としよう。関数$f : X \rightarrow \mathbb{R}$が下記の条件を満たす正の実数$\delta >0$が存在するならば、$f$は点$p \in X$で局所最大値^{local maximum}を持つと言う。

$$\forall q\in X,\quad f(q)\le f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta$$

説明

言葉で説明すると以下の通りだ：

$p$から距離$\delta$だけ離れた範囲内で$f(p)$が最大であれば、$f(p)$を$f$の局所最大値と呼ぶ。

不等号の向きを逆にすると、局所最小値^{local minima}の定義になる。

$(X,d)$を距離空間としよう。関数$f : X \rightarrow \mathbb{R}$が下記の条件を満たす正の実数$\delta >0$が存在するならば、$f$は点$p \in X$で局所最小値を持つと言う。

$$\forall q\in X,\quad f(q )\ge f(p)\ \mathrm{with}\ d(p,q)<\delta$$

英語でのlocal maximum/minimumとrelative maximum/minimumは両方とも局所最大/最小を意味する言葉だ。

高校の数学では、極限、連続性、微分を厳密に定義しないので、「微分したときに$0$であり、左右からの微分係数の符号が変わるところ」を局所最大/最小と呼んでいた。解析学では、まず局所最大/最小を定義し、その後で$f$が微分可能であれば、局所最大/最小での微分係数が$0$であることを証明できる。

定理

区間$[a,b]$で定義された関数$f$が与えられたとしよう。$f$が$x\in (a,b)$で局所最大値を持ち、$x$で微分係数$f^{\prime}(x)$が存在するとする。すると、$f^{\prime}(x)=0$が成り立つ。

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NOTE: 逆は成立しないことに注意してほしい。つまり、$f^{\prime}(x)=0$と言っても$x$が局所最大値または最小値である保証はない。

証明

局所最小値の場合も証明方法は同じだ。

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$f$が$x$で局所最大値を持つと仮定すると、以下のように正の数$\delta$を選ぶことができる。

$$a<x-\delta < x <x+\delta <b$$

$x$を基準にして$x$より小さい点、大きい点に分けて考えよう。

• Case 1.

  $x-\delta < t < x$としよう。その場合、次が成り立つ。

  $$\frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0$$

  $f(x)$は局所最大値なので、$t\rightarrow x$の極限を取っても符号は変わらない。したがって、微分係数の定義により、次が成り立つ。

  $$\begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \ge 0 \end{equation}$$

• Case 2.

  $x<t<x-\delta$としよう。その場合、次が成り立つ。

  $$\frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0$$

  **Case 1.**と同じ理由で、以下の式が成り立つ。

  $$\begin{equation} f^{\prime}(x)=\lim \limits_{t\rightarrow x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le 0 \end{equation}$$

$f^{\prime}(x)$は$(1)$と$(2)$の両方を満たさなければならないので、以下を得る。

$$f^{\prime}(x)=0$$

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