📂古典力学

日、仕事-エネルギーの定理

定義

力 $\mathbf{F}$が物体に作用して、その物体が力と同じ方向に$s$だけ移動したとき、力の大きさと移動距離の積 $W=Fs$を力 $\mathbf{F}$が物体にした仕事^workという。

説明

移動距離-力のグラフでは、グラフの下の面積が仕事の量と同じだ。移動方向と力の方向が同じでなければならないからには、以下のように二つのベクターの内積として表現できる。

$$ W= \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}=Fs\cos \theta $$

上記のように、移動距離-力のグラフの面積と同じと言ったからには、以下のように表現できる。

$$ W=\int _{s_{0}}^{s} Fds $$

移動方向と力の方向が同じ場合にのみ仕事をしたと仮定するのは、直感的に考えれば簡単に理解できる。以下の図を見てみよう。

上の図は$A$と$B$がそれぞれ矢印の方向に物体を押している状況だ。この時物体が緑色の矢印の方向に動いたならば、我々は$B$は物体を動かすことに関与していないと考える。$A$単独で物体を移動させたのだ。だから、力が物体にした仕事を計算する場合、力と移動方向が同じ場合のみを考える。もし移動方向と力の方向が正反対の場合は、力が物体に負の仕事をしたとする。例えば下の図のように、移動する物体を止めるために、移動方向と反対に力を加える場合を考えることができる。

仕事-運動エネルギーの定理¹

合力が物体にした仕事は、その物体の運動エネルギーの変化量と同じだ。

$$ W=\Delta T $$

証明

運動エネルギーの定義によれば $F(x)=\frac{dT}{dx}$なので、以下のようになる。

$$ W=\int_{x_{0}}^{x}Fdx=\int_{x_{0}}^{x}dT=T-T_{0}=\Delta T $$

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