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三次方程式の根の公式 📂抽象代数

三次方程式の根の公式

式

3次方程式t3+pt+q=0t^{3}+pt+q = 0の解は次の通りだ。

{t1=u1+v1=−q2+q24+p3273+−q2−q24+p3273t2=u2+v3=−q2+q24+p3273ω+−q2−q24+p3273ω2t3=u3+v2=−q2+q24+p3273ω2+−q2−q24+p3273ω \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases}

この時ω=ei23π\omega = e^{i\frac{2}{3}\pi}である。

証明

カルダノの方法

3次方程式ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\ne0)が与えられたとする。解法を簡単にするために、一般性を損なわずに下のように表す。

x3+ax2+bx+c=0 \begin{equation} x^{3}+ax^{2} +bx+c=0 \end{equation}

2次項を取り除くために、x=t−a3x=t-{\textstyle \frac{a}{3}}と置換する。すると以下のようになる。

(t−a3)3+a(t−a3)2+b(t−a3)+c=0  ⟹  (t3−at2+a23t−a327)+(at2−2a23t+a39)+(bt−ab3)+c=0  ⟹  t3+(a23−2a23+b)t+(−a327+a39−ab3+c)=0  ⟹  t3+(b−a23)t+(2a327−ab3+c)=0 \begin{align*} &&\left( t- \frac{a}{3}\right)^{3}+a\left( t-\frac{a}{3} \right)^{2}+b\left( t-\frac{a}{3} \right) + c &=0 \\ \implies && \left( t^{3}-\cancel{at^{2}}+\frac{a^{2}}{3}t-\frac{a^{3}}{27} \right)+\left(\cancel{at^{2}}-\frac{2a^{2}}{3}t + \frac{a^{3}}{9}\right) + \left( bt-\frac{ab}{3} \right) +c &= 0 \\ \implies && t^{3}+\left( \frac{a^{2}}{3} -\frac{2a^{2}}{3}+b \right)t +\left( -\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \\ \implies && t^{3}+\left( b- \frac{a^{2}}{3} \right)t +\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)&=0 \end{align*}

ここでさらに式を簡単にするため、p=b−a23p=b-\frac{a^{2}}{3}、q=2a327−ab3+cq=\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+cとすると、上の式は以下のようになる。

t3+pt+q=0 \begin{equation} t^{3}+pt+q = 0 \end{equation}

ここで一度更にt=u+vt=u+vと置換すると、上の式は以下のようになる。

(u+v)3+p(u+v)+q=0 \begin{equation} (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0 \end{equation}

また、乗法公式により、次の式が成立する。

(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v2=u3+v3+3uv(u+v) (u+v)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{2}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)

上の式の右辺を全て左辺に移項すると、以下の式を得る。

(u+v)3−3uv(u+v)−(u3+v3)=0 \begin{equation} (u+v)^{3} - 3uv(u+v) - (u^{3}+v^{3})=0 \end{equation}

(3)(3)と(4)(4)を比較すれば、(3)(3)を解くことはp=−3uvp=-3uv、q=−(u3+v3)q=-(u^{3}+v^{3})を満たすuu、vvを見つけることと同じであることがわかる。2つの式をuu、vvに対して書くと、以下の通りだ。

u3v3=−p327u3+v3=−q \begin{align*} u^{3}v^{3} &= -\frac{p^{3}}{27} \\ u^{3}+v^{3} &= -q \end{align*}

この時、2次方程式の根と係数の関係を考えるとu3u^{3}、v3v^{3}は下の2次方程式の2つの根であることがわかる。

X2+qX−p327=0 X^{2} +qX -\frac{p^{3}}{27}=0

すると、根の公式により、次の式が成立する。

X1=u3=−q+q2+4p3272=−q2+q24+p327X2=v3=−q−q2+4p3272=−q2−q24+p327 \begin{equation} \begin{aligned} X_{1}&=u^{3}=\frac{-q+\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \\ X_{2}&= v^{3}=\frac{-q-\sqrt{q^{2}+\frac{4p^{3}}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} \end{aligned} \end{equation}

この時、任意の実数α\alphaに対して、z3=αz^{3}=\alphaを満たす3つの虚根は以下の通りだ。

z1=α3andz2=α3ωandz3=α3ω2 z_{1}=\sqrt[3]{\alpha} \quad \text{and} \quad z_{2}=\sqrt[3]{\alpha}\omega \quad \text{and} \quad z_{3}=\sqrt[3]{\alpha}\omega^{2}

この時、ω\omegaはω3=1\omega^{3}=1を満たす複素数で、具体的にはω=ei23π=cos⁡(23π)+isin⁡(23π)\omega=e^{i\frac{2}{3}\pi}=\cos (\frac{2}{3}\pi)+i\sin (\frac{2}{3}\pi)である。したがって、(5)(5)を満たすu,vu, vは以下の通りだ。

{u1=−q2+q24+p3273u2=−q2+q24+p3273ωu3=−q2+q24+p3273ω2and{v1=−q2−q24+p3273v2=−q2−q24+p3273ωv3=−q2−q24+p3273ω2 \begin{cases} u_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ u_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ u_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases}\quad \text{and} \quad \begin{cases} v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega \\ v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}\end{cases}

しかし、p=−uvp=-uvは実数であるため、掛け合わせて実数になる組み合わせのみが解である。したがって、解は以下の通りだ。

{t1=u1+v1=−q2+q24+p3273+−q2−q24+p3273t2=u2+v3=−q2+q24+p3273ω+−q2−q24+p3273ω2t3=u3+v2=−q2+q24+p3273ω2+−q2−q24+p3273ω \begin{cases} t_{1}=u_{1}+v_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ t_{2}=u_{2}+v_{3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2} \\ t_{3}=u_{3}+v_{2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\omega\end{cases}

すべての3次方程式は、置換を通じて(2)(2)のように2次項がない形に表せるため、上の公式だけで十分である。(1)(1)に対する公式として表すと、以下の通りだ。

{x1=−12(2a327−ab3+c)+14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33+−12(2a327−ab3+c)−14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33−a3x2=−12(2a327−ab3+c)+14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33ω+−12(2a327−ab3+c)−14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33ω2−a3x3=−12(2a327−ab3+c)+14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33ω2+−12(2a327−ab3+c)−14(2a327−ab3+c)2+127(b−a23)33ω−a3 \begin{cases} x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}-\frac{a}{3} \\ x_{2}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2} -\frac{a }{3} \\ x_{3}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega^{2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left( \frac{2a^{3}}{27}-\frac{ab}{3}+c \right)^{2}+\frac{1}{27}\left(b-\frac{a^{2}}{3} \right)^{3}}}\omega -\frac{a }{3} \end{cases}

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