📂古典力学

ケプラーの第二法則：面積速度一定の法則

ケプラーの第2法則：面積速度一定の法則¹

太陽と惑星を結ぶ線分は、同じ時間で等しい面積を通過する。

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面積速度一定の法則は、ケプラーの惑星運動の法則の中の二つ目の法則である。しかし、これは太陽と惑星間でのみ起こる特別な法則ではなく、中心力によって運動するあらゆる物体(粒子)に対して成り立つ一般的な法則である。

証明

中心力場における粒子の角運動量と面積速度

回転運動なので、粒子の運動を極座標系で説明する方が便利だ。極座標系における速度は下記の通りである。

$$ \mathbf{v}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

すると、粒子の角運動量の大きさは下記の通りである。

$$ | \mathbf{L}| = |\mathbf{r} \times m\mathbf{v}|=|r \hat{\mathbf{r}} \times m(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}})| $$

この時、$|\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}}|=0$、$|\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}|=1$と中心力によって運動する粒子の角運動量は保存されるので、下記の式が成り立つ。

$$ \begin{equation} L=| \mathbf{L}|=mr^{2}\dot{\theta}=\text{constant} \label{eq1} \end{equation} $$

$\left| \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}} \right|=0$のために、すべての径方向の運動は角運動量に影響を与えない。これは太陽の重力によって公転する惑星を含む、中心力で動くあらゆる粒子に対しても一般的に成り立つ結果である。面積速度を計算するため、下の図を見よう。

中心力によって$dt$時間で$d \mathbf{r}$だけ動く粒子の位置ベクトル$\mathbf{r}$によって作られた三角形は、上の図に表示される通りである。従って、三角形の面積を計算すると以下のようである。

$$ \begin{align} dA &= {\textstyle \frac{1}{2}} \left| \mathbf{r} \times d \mathbf{r} \right| \nonumber \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}} \left| r \hat{\mathbf{r}} \times(dr \hat{\mathbf{r}} + rd\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \right| \nonumber \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}}r^{2}d\theta \label{eq2} \end{align} $$ その時、$\left| \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}} \right|=0$のために、すべての径方向の運動は面積$dA$に影響を与えない。今、$\eqref{eq1}$と$\eqref{eq2}$から「面積速度」を計算すると以下のようである。

$$ \begin{align*} \frac{ d A}{ d t } &= {\textstyle \frac{1}{2}} r^{2 \frac{ d \theta}{ d t }} \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}}r^{2}\dot{\theta} \\ &= \frac{L}{2m} \\ &= \text{constant} \end{align*} $$

したがって、面積速度は角運動量に比例し、物体（粒子）は同じ時間で等しい面積だけ運動する。

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