均一な球殻と離れた粒子の重力
📂古典力学均一な球殻と離れた粒子の重力
一様な球殻と飛び出した粒子の重力
全質量がM、半径がRの一様な球殻があるとしよう。そして、球殻の中心Oからr離れた場所に質量がmの粒子があるとする。この時、R<rが成り立つ。まず、球殻の一部が粒子に及ぼす力を求めてみよう。

上図のような球殻の帯を考えよう。すると、帯の半径はRsinθだ。従って、帯の周囲は2πRsinθになる。また、幅はRΔθと近似される。従って、帯の質量は以下のようになる。
ΔM=ρ2πR2sinθΔθ
ここで、ρ=4πR2Mは球殻の単位面積当たりの質量である。現在、球殻の帯上の点Qが粒子Pに及ぼす重力をΔFQとしよう。それを水平成分ΔFQcosϕと垂直成分ΔFQsinϕに分けると、垂直成分はQで逆側に位置する質点による力の垂直成分で相殺されることがわかる。従って、球殻帯全体が粒子に及ぼす力ΔFの方向は、粒子Pから球殻の中心Oへ向かう方向と同じであることがわかる。また、その大きさは万有引力の法則により以下のようになる。
ΔF=Gs2mΔMcosϕ=Gs2m2πρR2sinθcosϕΔθ
現在、θについて積分すると、球殻全体が粒子に及ぼす力の大きさを求めることができる。
F=Gm2πρR2∫0πs2sinθcosϕdθ
積分変数θをsに変換すると、積分が簡単になる。まず、三角形OPQにコサインの第2法則を適用すると下記のようになる。
r2+R2−2rRcosθ=s2
rとRは定数なので、両辺を微分すると次の式を得る。
⟹2rRsinθdθsinθdθ=2sds=rRsds
同様に、角度ϕに対するコサインの第2法則を適用すると次の式が得られる。
cosϕ=2rss2+r2−R2
今度は(2)と(3)を(1)に代入し、積分を計算すると以下のようになる。
F=Gm2πρR2∫r−Rr+R2Rr2s2s2+r2−R2ds=4πR2Gm2πR2M2Rr21∫r−Rr+Rs2s2+r2−R2ds=4Rr2GmM∫r−Rr+Rs2s2+r2−R2ds=4Rr2GmM∫r−Rr+R(1+s2r2−R2)ds=4Rr2GmM[s−s(r−R)(r+R)]r−Rr+R=4Rr2GmM[(r+R)−(r−R)−(r−R)+(r+R)]=r2GmM
方向も加えてベクトルとして表現すると以下のようになる。
F=−Gr2mMer
ここで、erはOが原点の時の半径方向の単位ベクトルである。