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均一な球殻と離れた粒子の重力 📂古典力学

均一な球殻と離れた粒子の重力

一様な球殻と飛び出した粒子の重力1

全質量がMM、半径がRRの一様な球殻があるとしよう。そして、球殻の中心OOからrr離れた場所に質量がmmの粒子があるとする。この時、R<rR<rが成り立つ。まず、球殻の一部が粒子に及ぼす力を求めてみよう。

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上図のような球殻の帯を考えよう。すると、帯の半径はRsinθR\sin \thetaだ。従って、帯の周囲は2πRsinθ2\pi R \sin \thetaになる。また、幅はRΔθR\Delta \thetaと近似される。従って、帯の質量は以下のようになる。

ΔM=ρ2πR2sinθΔθ \Delta M = \rho 2\pi R^{2} \sin \theta \Delta \theta

ここで、ρ=M4πR2\rho=\frac{M}{4\pi R^{2}}は球殻の単位面積当たりの質量である。現在、球殻の帯上の点Qが粒子PPに及ぼす重力ΔFQ\Delta \mathbf{F}_{Q}としよう。それを水平成分ΔFQcosϕ\Delta \mathbf{F}_{Q}\cos \phiと垂直成分ΔFQsinϕ\Delta \mathbf{F}_{Q}\sin \phiに分けると、垂直成分はQQで逆側に位置する質点による力の垂直成分で相殺されることがわかる。従って、球殻帯全体が粒子に及ぼす力ΔF\Delta \mathbf{F}の方向は、粒子PPから球殻の中心OOへ向かう方向と同じであることがわかる。また、その大きさは万有引力の法則により以下のようになる。

ΔF=GmΔMs2cosϕ=Gm2πρR2sinθcosϕs2Δθ \Delta F=G\frac{m\Delta M}{s^{2}}\cos \phi =G\frac{ m2\pi \rho R^{2} \sin \theta \cos \phi}{s^{2}}\Delta \theta

現在、θ\thetaについて積分すると、球殻全体が粒子に及ぼす力の大きさを求めることができる。

F=Gm2πρR20πsinθcosϕs2dθ \begin{equation} F = Gm2\pi \rho R^{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin \theta \cos \phi}{s^{2}}d\theta \end{equation}

積分変数θ\thetassに変換すると、積分が簡単になる。まず、三角形OPQOPQコサインの第2法則を適用すると下記のようになる。

r2+R22rRcosθ=s2 r^{2} +R^{2} -2rR\cos\theta=s^{2}

rrRRは定数なので、両辺を微分すると次の式を得る。

2rRsinθdθ=2sds    sinθdθ=srRds \begin{align} &&2rR\sin \theta d \theta &= 2s ds \nonumber \\ \implies && \sin \theta d \theta &= \frac{s }{rR}ds \end{align}

同様に、角度ϕ\phiに対するコサインの第2法則を適用すると次の式が得られる。

cosϕ=s2+r2R22rs \begin{equation} \cos \phi = \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2rs} \end{equation}

今度は(2)(2)(3)(3)(1)(1)に代入し、積分を計算すると以下のようになる。

F=Gm2πρR2rRr+Rs2+r2R22Rr2s2ds=Gm2πR2M4πR212Rr2rRr+Rs2+r2R2s2ds=GmM4Rr2rRr+Rs2+r2R2s2ds=GmM4Rr2rRr+R(1+r2R2s2)ds=GmM4Rr2[s(rR)(r+R)s]rRr+R=GmM4Rr2[(r+R)(rR)(rR)+(r+R)]=GmMr2 \begin{align*} F &= Gm2\pi\rho R^{2}\int_{r-R}^{r+R} \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2Rr^{2}s^{2}}ds \\ &= \frac{ Gm2\pi R^{2}M}{4\pi R^{2}}\frac{1}{2Rr^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\left( 1+\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right)ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\left[ s-\frac{(r-R)(r+R)}{s} \right]_{r-R}^{r+R} \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\Big[ (r+R)-(r-R)-(r-R)+(r+R)\Big] \\ &= \frac{GmM}{r^{2}} \end{align*}

方向も加えてベクトルとして表現すると以下のようになる。

F=GmMr2er \mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^{2}}\mathbf{e}_{r}

ここで、er\mathbf{e}_{r}OOが原点の時の半径方向の単位ベクトルである。


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p223-225 ↩︎