📂古典力学

物理学における質量、力、運動量の定義

質量¹

ニュートンの運動の法則では、慣性とは運動の変化に抵抗する性質と説明されている。つまり、慣性が大きいほど動かしづらく、慣性が小さいほど動かしやすいということだ。これは、軽い物体を押して動かすよりも重い物体を押して動かす方がより困難であるという経験とピッタリ合っている。つまり、慣性の大きさは質量の大きさで言えるということだ。質量とは、物体が重いか軽いかの度合いを言うものだ。これが質量の意味を定義したものだ。質量の値を定義する方法は以下の通りだ。

二つの物体があるとしよう。それぞれの物体の質量を$m_{1}$、$m_{2}$としよう。そして、これらが同じ力で反対方向に動かされるとしよう。簡単に言えば、二つの物体の間にバネを挟んで、両側から押して離した状態を想像してみよう。二つの物体は、それぞれ$\mathbf{v}_{1}$、$\mathbf{v}_{2}$の速度で弾き出される。この時、二つの物体の質量の比を以下のように定義する。

$$\frac{m_{2}}{m_{1}}=\left|\frac{\mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{2}} \right|$$

この時、物体1の質量$m_{1}$を基準にして、他の物質の質量を決定できる。

運動量と力

物体の質量と速度の積を運動量^momentumといい、$\mathbf{p}$と書く。角運動量と区別するため、直線運動量^{linear momentum}とも言う。

$$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$

運動量はその名の通り、運動する物体が持っている物理量だ。したがって、物体の運動に変化が生じたことは、物体の運動量が増加したり減少したりしたことと同じだ。すると、ニュートンの第二法則で述べられている運動の変化は、時間による運動量の変化と言える。また、力を物体の運動を変化させるものとしたからには、運動量の定義からニュートンの第二法則を以下の数式で表すことができる。

$$\begin{equation} \mathbf{F}=k\frac{ d \mathbf{p}}{ d t } \end{equation}$$

これを解説すると、「物体に加えられた力$\mathbf{F}$は、物体の運動量の変化量に比例する」ということだ。ここで、$k$は比例定数だ。物体の質量$m$が時間が経過しても変わらないと仮定すると（高校の物理から大学の物理まで多くの状況でそうである）、以上の式を以下のように書くことができる。

$$\mathbf{F}=k\frac{d(m\mathbf{v})}{dt}=km\frac{d \mathbf{v}}{dt}=km\mathbf{a}$$

ここで、$\mathbf{a}$は質量が$m$の物体に力$\mathbf{F}$が作用した時に、その物体が持つ加速度だ。比例定数を$k=1$とすると、あの有名なその式になる。

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$$

ニュートンの運動の法則と上述の定義から自然に運動量保存の法則が導かれる。$(1)$の左辺は物体系（または粒子系）に作用する合力であり、右辺は物体系の運動量の変化率だ。外力が存在しない場合、運動量の変化率が$0$であるため、運動量が保存されていることが分かる。